Простое число p таково, что для любых a и b числа 11a + 5b и a + 4b или оба делятся на p, или оба не делятся. Чему может быть равно p? Укажите все подходящие варианты

Решим задачу о простом числе \( p \), для которого выполняется следующее условие: для любых целых \( a \) и \( b \) выражения \( 11a + 5b \) и \( a + 4b \) либо оба делятся на \( p \), либо оба не делятся.

Рассмотрим \( a + 4b \) и \( 11a + 5b \) по модулю \( p \). Обозначим:

• \( x = a + 4b \)
• \( y = 11a + 5b \)

Теперь выясним, как \( y \) можно выразить через \( x \):

1. Умножим \( x \) на 11: \[ 11x = 11(a + 4b) = 11a + 44b \]

2. Теперь рассмотрим разность \( y - 11x \): \[ y - 11x = (11a + 5b) - (11a + 44b) = 5b - 44b = -39b \]

Это уравнение показывает, что \( y \equiv 0 \mod p \) (то есть \( y \) делится на \( p \)) равноценным \( -39b \equiv 0 \mod p \), соответственно:

• Если \( b \equiv 0 \mod p \), то \( 39b \equiv 0 \mod p \).
• Если же \( b \not\equiv 0 \mod p \), то нам необходимо, чтобы \( -39 \equiv 0 \mod p \). Это возможно только в том случае, если \( p \) является делителем числа 39.

Рассмотрим разложение 39 на простые множители: \[ 39 = 3 \times 13 \]

Таким образом, возможные значения простого числа \( p \) – это простые делители 39. Мы получаем:

• \( p = 3 \)
• \( p = 13 \)

Итак, все подходящие варианты простого числа \( p \): \[ p \in \{3, 13\} \]