Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у=2x^2-16x+33, y=-x^2+8x-12

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной данными кривыми, сначала нужно определить точки их пересечения. Для этого приравняем два уравнения:

\[ 2x^2 - 16x + 33 = -x^2 + 8x - 12 \]

Соберем все члены в одну сторону:

\[ 2x^2 + x^2 - 16x - 8x + 33 + 12 = 0 \]

Это упростится до:

\[ 3x^2 - 24x + 45 = 0 \]

Теперь можно упростить это уравнение, разделив все члены на 3:

\[ x^2 - 8x + 15 = 0 \]

Решим квадратное уравнение с помощью формулы:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = -8 \), \( c = 15 \).

Подставим значения:

\[ x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2} \] \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{2} \] \[ x = \frac{8 \pm 2}{2} \]

Получим два значения:

\[ x_1 = \frac{10}{2} = 5 \] \[ x_2 = \frac{6}{2} = 3 \]

Теперь у нас есть точки пересечения: \( x = 3 \) и \( x = 5 \).

Теперь найдём площадь, ограниченную этими кривыми, интегрируя:

\[ A = \int_{3}^{5} \left( (2x^2 - 16x + 33) - (-x^2 + 8x - 12) \right) dx \]

Упростим выражение под интегралом:

\[ A = \int_{3}^{5} (2x^2 - 16x + 33 + x^2 - 8x + 12) \, dx \] \[ A = \int_{3}^{5} (3x^2 - 24x + 45) \, dx \]

Теперь находим неопределенный интеграл:

\[ \int (3x^2 - 24x + 45) \, dx = x^3 - 12x^2 + 45x + C \]

Теперь подставим пределы интегрирования:

\[ A = \left[ x^3 - 12x^2 + 45x \right]_{3}^{5} \]

Посчитаем значение на верхнем пределе:

\[ A(5) = 5^3 - 12(5^2) + 45(5) = 125 - 300 + 225 = 50 \]

Посчитаем значение на нижнем пределе:

\[ A(3) = 3^3 - 12(3^2) + 45(3) = 27 - 108 + 135 = 54 \]

Теперь вычисляем площадь:

\[ A = 50 - 54 = -4 \]

Так как площадь не может быть отрицательной, то в данном случае мы просто берём модуль:

\[ A = 4 \]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна \( 4 \) квадратных единицы.