Расписать числитель и знаменатель используя формулы сокращëнного умножения. В числителе и в знаменателе привести подобные Вынести старшую степень за скобки в числителе, а затем в…

Для начала, давайте упростим дробь, используя формулы сокращённого умножения. Ваша задача состоит в том, чтобы упростить выражение:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{(6 - n)^2 - (6 + n)^2}{(6 + n)^2 - (1 - n)^2} \]

Шаг 1: Распишем числитель и знаменатель.

Используя формулу разности квадратов \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\), мы имеем:

1. Для числителя: \[ (6 - n)^2 - (6 + n)^2 = [(6 - n) - (6 + n)][(6 - n) + (6 + n)] \] Упрощаем это: \[ = [-2n][12] = -24n \]

2. Для знаменателя: \[ (6 + n)^2 - (1 - n)^2 = [(6 + n) - (1 - n)][(6 + n) + (1 - n)] \] Упрощаем это: \[ = [(6 + n - 1 + n)][(6 + n + 1 - n)] = [(5 + 2n)][(7)] = 7(5 + 2n) \]

Таким образом, мы можем переписать предел как:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{-24n}{7(5 + 2n)} \]

Шаг 2: Извлечем старшие степени.

В числителе у нас \( -24n \), что само по себе уже имеет старшую степень. В знаменателе \( 7(5 + 2n) \) можно вынести \(2n\):

\[ = \lim_{n \to \infty} \frac{-24n}{7 \cdot 2n(1 + \frac{5}{2n})} = \lim_{n \to \infty} \frac{-24}{14(1 + \frac{5}{2n})} \]

Шаг 3: Находим предел.

Когда \( n \) стремится к бесконечности, \(\frac{5}{2n}\) стремится к нулю:

\[ = \frac{-24}{14(1 + 0)} = \frac{-24}{14} = -\frac{12}{7} \]

Шаг 4: Подведение итогов.

Теперь мы видим, что у нас нет выражений вида "число/n", так как в нашем пределе осталась только постоянная величина. Поэтому конечный результат:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{-(12)}{7} = -\frac{12}{7} \]

Таким образом, мы успешно упростили выражение и нашли предел. Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно больше объяснений, не стесняйтесь спрашивать!