Из клетчатого квадрата 9 х 9 вырезали часть угловых клеток, а оставшуюся фигуру разбили на квадраты со сторонами 1 и 3 так, чтобы квадратов каждого типа получилось поровну.…

Чтобы решить эту задачу, нужно учесть, что у нас есть квадрат 9x9, который содержит в себе 81 клетку. Мы вырезаем определенное количество угловых клеток, после чего оставшуюся фигуру разбиваем на квадраты размерами 1x1 и 3x3, так чтобы количество квадратов каждого типа было одинаковым.

Обозначим количество квадратов 3x3 как \( x \). Тогда количество квадратов 1x1 также будет \( x \). Площадь квадрата 3x3 равна 9 клеткам, а площадь квадрата 1x1 равна 1 клетке. Таким образом, общая площадь, занимаемая квадратами, будет равна:

\[ 9x + 1x = 10x \]

Теперь, если мы вырезаем \( k \) клеток, оставшаяся площадь станет:

\[ 81 - k \]

Таким образом, мы можем записать уравнение:

\[ 81 - k = 10x \]

Отсюда можно выразить \( k \):

\[ k = 81 - 10x \]

К тому же важно, чтобы \( k \) было неотрицательным, что приводит к условию:

\[ 81 - 10x \geq 0 \] \[ 81 \geq 10x \] \[ x \leq 8.1 \]

Так как \( x \) должно быть целым, максимальное значение для \( x \) – это 8. Теперь мы подставим возможные значения \( x \) в формулу для \( k \):

1. Если \( x = 0 \), \( k = 81 - 10 \cdot 0 = 81 \)
2. Если \( x = 1 \), \( k = 81 - 10 \cdot 1 = 71 \)
3. Если \( x = 2 \), \( k = 81 - 10 \cdot 2 = 61 \)
4. Если \( x = 3 \), \( k = 81 - 10 \cdot 3 = 51 \)
5. Если \( x = 4 \), \( k = 81 - 10 \cdot 4 = 41 \)
6. Если \( x = 5 \), \( k = 81 - 10 \cdot 5 = 31 \)
7. Если \( x = 6 \), \( k = 81 - 10 \cdot 6 = 21 \)
8. Если \( x = 7 \), \( k = 81 - 10 \cdot 7 = 11 \)
9. Если \( x = 8 \), \( k = 81 - 10 \cdot 8 = 1 \)

Таким образом, количество вырезанных клеток \( k \) может принимать значения: 81, 71, 61, 51, 41, 31, 21, 11, 1. Все эти значения соответствуют условиям задачи и допустимы.

В итоге, возможные количества вырезанных клеток могут быть: 81, 71, 61, 51, 41, 31, 21, 11 и 1.