Ответ

Привет! Давай разберемся с задачей.

У нас дан треугольник \(ABC\), и на стороне \(AC\) отмечена точка \(M\). Известны углы: \( \angle KBC = 27^\circ \), \( \angle BCA = 31^\circ \), и \( \angle KMC = 64^\circ \). Нужно найти, какие значения может принимать величина угла \( \angle AMB \).

Чтобы решить задачу, используем следующее:

1. Определим, что \(K\) находится на продолжении \(BC\) за точку \(C\). Таким образом, \(\angle KCB = 180^\circ - \angle BCA = 149^\circ\).

2. Поскольку \(\angle KMC = 64^\circ\) и точка \( M \) на плоскости, то отрезок \(MK\) проходит через \(M\), делая \(\angle KMB = \angle KMC = 64^\circ\).

3. Угол \(\angle AMB\) состоит из углов \(\angle AMC\) и \(\angle BMC\). Поскольку сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\), и учитывая линии и углы на продолжении, можем заключить:

   \[ \angle AMB = 180^\circ - (\angle KMB - \angle KBC) = 180^\circ - (64^\circ - 27^\circ) = 143^\circ \]

Ответ: \( 143^\circ \).