три волшебницы собрались на берегу озера, в котором обитают 125 кувшинок.По мановению палочки цветок польностью закрывает. Изначально все бутоны закрыты. Первая волшебница…

Для решения этой задачи давайте обозначим количество кувшинок, над которыми взмахнули каждой из волшебниц:

• Первая волшебница закрыла 117 кувшинок.
• Вторая волшебница закрыла 119 кувшинок.
• Третья волшебница закрыла 113 кувшинок.

Пусть \(A\) — это количество кувшинок, над которыми взмахнули все три волшебницы, \(B\) — количество кувшинок, над которыми взмахнули две волшебницы, и \(C\) — количество кувшинок, над которыми взмахнула только одна волшебница.

Сначала мы можем использовать принцип включения-исключения:

1. Общее количество кувшинок равно 125.
2. Обозначим:
   • \(x\) — количество кувшинок, над которыми взмахнули все три волшебницы.
   • \(y_1\) — кувшинки, над которыми взмахнули только первая и вторая волшебницы.
   • \(y_2\) — кувшинки, над которыми взмахнули только первая и третья волшебницы.
   • \(y_3\) — кувшинки, над которыми взмахнули только вторая и третья волшебницы.
   • \(z_1\) — кувшинки, над которыми взмахнула только первая волшебница.
   • \(z_2\) — кувшинки, над которыми взмахнула только вторая волшебница.
   • \(z_3\) — кувшинки, над которыми взмахнула только третья волшебница.

Тогда можно составить такое уравнение:

\[ x + y_1 + y_2 + y_3 + z_1 + z_2 + z_3 = 125 \]

Также у нас есть данные по каждой волшебнице:

• Первая волшебница: \(x + y_1 + y_2 + z_1 = 117\)
• Вторая волшебница: \(x + y_1 + y_3 + z_2 = 119\)
• Третья волшебница: \(x + y_2 + y_3 + z_3 = 113\)

Теперь добавим все три уравнения:

\[ (x + y_1 + y_2 + z_1) + (x + y_1 + y_3 + z_2) + (x + y_2 + y_3 + z_3) = 117 + 119 + 113 \] \[ 3x + 2y_1 + 2y_2 + 2y_3 + z_1 + z_2 + z_3 = 349 \]

Теперь добавим к этому уравнению количество кувшинок:

(1) \[ x + y_1 + y_2 + y_3 + z_1 + z_2 + z_3 = 125 \]

Умножим (1) на 2:

\[ 2x + 2y_1 + 2y_2 + 2y_3 + 2z_1 + 2z_2 + 2z_3 = 250 \]

Теперь вычтем это уравнение из 349:

\[ (3x + 2y_1 + 2y_2 + 2y_3 + z_1 + z_2 + z_3) - (2x + 2y_1 + 2y_2 + 2y_3 + 2z_1 + 2z_2 + 2z_3) = 349 - 250 \]

Упрощая, получаем:

\[ x - z_1 - z_2 - z_3 = 99 \]

Отсюда, поскольку \(z_1 + z_2 + z_3\) — это кувшинки, над которыми взмахнула только одна волшебница, а их не может быть больше, чем 125, мы также знаем, что \(x\) должно быть равно 4.

Таким образом, количество кувшинок, над которыми взмахнули все три волшебницы, составляет 4.