10 × sin75° ÷ sin45°

Чтобы решить выражение \(10 \times \sin 75^\circ \div \sin 45^\circ\), начнём с нахождения значений синусов.

1. Известно, что \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
2. Для \(\sin 75^\circ\) можно воспользоваться формулой суммы углов: \(\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cdot \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \cdot \sin 30^\circ\).

Теперь подставим значения:

\(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\),
\(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\),
\(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\),
\(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\).

Подставив эти значения, получаем:

\[ \sin 75^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)}{4}. \]

Теперь подставим \(\sin 75^\circ\) и \(\sin 45^\circ\) в исходное выражение:

\[ 10 \times \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)}{4} \div \frac{\sqrt{2}}{2}. \]

Комбинируем выражение:

\[ = 10 \times \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)}{4} \times \frac{2}{\sqrt{2}} = 10 \times \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{4} = 10 \times \frac{\sqrt{3} + 1}{2} = 5(\sqrt{3} + 1). \]

Таким образом, окончательный ответ: \(5(\sqrt{3} + 1)\).