Жора решил систему уравнений { x²+y²=20, xy=9/2. Для каждого решения Жора посчитал, чему равно (x + y)². Чему равна сумма всех чисел, посчитанных Жорой? задача 2 Три окружности радиусами 3, 4, 8 расположены так, что общая хорда пересечения любых двух окружностей является диаметром меньшей из них. Найдите квадраты длин сторон треугольника, образованного центрами этих окружностей. Каждое число записывайте в отдельное поле в порядке возрастания?Найдите квадрат площадь треугольника, образованного центрами этих окружностей задача 3 Пусть п> 2025 натуральное число. На доске написаны натуральные числа от 2025 до п. За одну операцию робот берёт два наибольших числа на доске и заменяет их на их разность, тем самым уменьшая количество чисел на доске. Через некоторое время на доске останется только одно число. Сколько существует натуральных в 9000, для которых это число будет равно 0?

Давайте разберем каждую задачу по порядку.

Задача 1:

Нам даны уравнения:

1. \( x^2 + y^2 = 20 \)
2. \( xy = \frac{9}{2} \)

Для решения этой системы уравнений можно воспользоваться следующим подходом:

1. Известно, что \( (x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy \).
2. Подставим известные значения из уравнений:
   • \( x^2 + y^2 = 20 \)
   • \( xy = \frac{9}{2} \)

Подставляем в формулу:

\[ (x + y)^2 = 20 + 2 \cdot \frac{9}{2} = 20 + 9 = 29 \]

Таким образом, для каждого решения \( (x + y)^2 \) равно 29. Поскольку у нас есть два значения \( (x, y) \) для системы уравнений, сумма всех \( (x + y)^2 \) будет равна \( 29 + 29 = 58 \).

Задача 2:

Рассмотрим три окружности радиусами 3, 4 и 8. Учитывая условия задачи, нам нужно выяснить, как расположены центры этих окружностей и вычислить длины сторон треугольника, образованного центрами.

1. Назовем центры окружностей \( A \), \( B \), и \( C \) радиусами \( r_A = 3 \), \( r_B = 4 \), \( r_C = 8 \).

2. Длина стороны между центрами окружностей \( A \) и \( B \): \[ AB = r_A + r_B = 3 + 4 = 7 \]

3. Длина стороны между центрами окружностей \( A \) и \( C \): \[ AC = r_A + r_C = 3 + 8 = 11 \]

4. Длина стороны между центрами окружностей \( B \) и \( C \): \[ BC = r_B + r_C = 4 + 8 = 12 \]

Теперь мы имеем длины сторон 7, 11 и 12. Записываем их в порядке возрастания:

\[ 7^2, 11^2, 12^2 \] Это будет: \[ 49, 121, 144 \]

Теперь найдем площадь треугольника, образованного этими сторонами. По формуле Герона:

\[ s = \frac{7 + 11 + 12}{2} = 15 \]

Площадь \( S \) найдется по формуле:

\[ S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{15(15-7)(15-11)(15-12)} \]

Вычисляем:

\[ S = \sqrt{15 \cdot 8 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{15 \cdot 96} = \sqrt{1440} = 12\sqrt{10} \]

Задача 3:

В этой задаче у нас есть робот, который берет два наибольших числа на доске и заменяет их на их разность. Чтобы остался единственный элемент на доске, это число должно быть кратно \( 1000 \) (в случае, если оно равно 0).

Мы знаем, что количество чисел от 2025 до \( n \) будет равно \( n - 2025 + 1 \). Мы можем выразить итоговое число (в конце процесса) как \( (n \times 1000 \mod 9000) \) чтобы получить 0.

Таким образом, решение заключается в том, что \( n \) должно быть кратно 9000, то есть существует:

\[ \left\lfloor \frac{n - 2025}{9000} \right\rfloor \]

В общем, задача завершена! Вы можете воспользоваться этими решениями для подготовки к экзамену. Удачи!