Дети путешественника во время нашли в рабочем кабинете старый предмет с 35 кнопочками каждый из которых загорается при нажатии а при повторном нажатии гаснет изначально ни одна из кнопочек не горела. Савелий нажал на 27 различных кнопочек Камиль на 26 кнопочек а Костя на 30 кнопочек в результате все кнопочки загорелись сколько кнопок было нажато трижды

Давайте разберемся с задачей поэтапно. У нас есть 35 кнопок, и каждая кнопка загорается при нажатии и гаснет при повторном нажатии. Савелий нажал 27 различных кнопочек, Камиль - 26, а Костя - 30 кнопочек. В результате все кнопочки загорелись.

Обозначим:

• \( x \) – количество кнопок, которые были нажаты все трижды.
• \( a \) – количество кнопок, которые были нажаты дважды.
• \( b \) – количество кнопок, которые были нажаты один раз.

По условиям задачи, известно:

1. Общее количество кнопок: \( 35 = x + a + b \).
2. По подсчету нажатий:

   • Савелий нажал \( 27 \):
     \[ x + a + b_S = 27 \] где \( b_S \) - кнопки, нажанные только Савелием.

   • Камиль нажал \( 26 \): \[ x + a + b_K = 26 \] где \( b_K \) - кнопки, нажанные только Камилем.

   • Костя нажал \( 30 \): \[ x + a + b_C = 30 \] где \( b_C \) - кнопки, нажанные только Костей.

Теперь сосчитаем общее количество нажатий: \[ 27 + 26 + 30 = 83. \] При этом каждое нажатие одной кнопки увеличивает количество включенных кнопок, и мы знаем, что в результате все 35 кнопок загорелись.

Поскольку кнопки горят после четного количества нажатий и гаснут при нечётном, нам нужно выяснить, сколько кнопок было нажато трижды.

Предположим, что каждому из \( x \) кнопок, которые нажаты трижды, дают нам по 3 нажатия каждый. Кнопки, которые нажаты дважды, дают нам 2 нажатия, а кнопки, нажаты один раз - только 1 нажатие.

Мы имеем уравнение на количество нажатий: \[ 3x + 2a + b = 83. \]

Теперь у нас есть система из трех уравнений:

1. \( x + a + b = 35 \)
2. \( 3x + 2a + b = 83 \)

Из первого уравнения можно выразить \( b \): \[ b = 35 - x - a. \]

Подставим это значение во второе уравнение: \[ 3x + 2a + (35 - x - a) = 83, \] соберем подобные: \[ 2x + a + 35 = 83, \] отсюда \[ 2x + a = 48, \] или \[ a = 48 - 2x. \]

Теперь подставим \( a \) в первое уравнение: \[ x + (48 - 2x) + b = 35, \] что упрощается до \[ - x + 48 + b = 35, \] или \[ b = x - 13. \]

Теперь у нас есть система:

1. \( a = 48 - 2x \)
2. \( b = x - 13 \)

Мы знаем, что \( a \), \( b \) и \( x \) не могут быть отрицательными.

Решим неравенства:

1. \( 48 - 2x \geq 0 \Rightarrow x \leq 24 \).
2. \( x - 13 \geq 0 \Rightarrow x \geq 13 \).

Итак, \( x \) может принимать значения от 13 до 24. Но также важно, что у нас все кнопки должны активироваться. Так мы также проверяем значение:

• Если \( x = 24 \), то \( a = 0, b = 11 \).
• Если \( x = 13 \), то \( a = 22, b = 0 \).

Теперь проверяем на минимальное значение: Для целого числа \( x = 24 \):

• \( 3 \cdot 24 + 0 + 11 = 83 \) — сработает.

Подводя итог, количество кнопок, нажанных трижды, составляет \( \boxed{24} \).