Простое число р таково, что для любых а и b числа 10a +3b и a+8b или оба делятся на р. или оба не делятся. Чему может быть равно р? Укажите все подходящие варианты.

Давай разберёмся с задачей. Тебе нужно найти простое число \( p \), которое удовлетворяет этому условию: для любых чисел \( a \) и \( b \), числа \( 10a + 3b \) и \( a + 8b \) либо оба делятся на \( p \), либо оба не делятся.

Для решения этой задачи рассмотрим следующие шаги:

1. Анализ условий:

   • Если \( 10a + 3b \equiv 0 \pmod{p} \) и \( a + 8b \equiv 0 \pmod{p} \), то они оба делятся на \( p \).
   • В противном случае \( 10a + 3b \not\equiv 0 \pmod{p} \) и \( a + 8b \not\equiv 0 \pmod{p} \).

2. Ищем контрпример:

   • Рассмотрим например \( a = 8 \) и \( b = -1 \):
     • \( 10(8) + 3(-1) = 80 - 3 = 77 \).
     • \( 8 + 8(-1) = 8 - 8 = 0 \).

3. Деление 77:

   • \( 77 \) делится на \( 7 \) и на \( 11 \).

4. Проверка соответствия:

   • Проверим делимость на \( 7 \): \( 10a + 3b \equiv 3(a + 8b) \pmod{7} \).
   • Аналогично: \( 10a + 3b \equiv 3(a + 8b) \pmod{11} \).

Таким образом, потенциальные кандидаты на \( p \) — это простые числа \( 7 \) и \( 11 \).

Ответ: \( 7 \), \( 11 \).