3. Тройняшкам Маше, Полине и Эрике подарили детскую музыкальную игрушку с 25 кнопочками, каждая из которых загорается при нажатии, а при повторном нажатии — гаснет. Изначально ни одна из кнопок не горела. Сначала Маша нажала на 17 различных кнопок, потом Полина — на 18, а Эрика — на 20. В результате все кнопки загорелись. Сколько кнопок было нажато трижды? 4. На балу присутствует не более 25 человек. Они танцуют в парах (один мужчина и одна женщина). В настоящий момент танцуют 2/3 всех мужчин 1/5 и всех женщин. Сколько людей присутствует на балу? 5. Среди трёх подружек одна выше всех по росту, другая старше всех, а третья - самая хитрая. Самая старшая всегда говорит правду, самая высокая всегда лжёт, а самая хитрая может иногда говорить правду, а иногда лгать. И Катя, и Лиза сказали: «Я — самая хитрая!», а Полина добавила: «Катя старше самой хитрой из нас». Кто из девочек выше всех? Полина Лиза Катя 6. В левой верхней клетке прямоугольной клетчатой поляны 10 х 12 сидят 7 жуков. За один ход один из жуков переползает на одну клетку вправо или на одну клетку вниз. Через несколько ходов все жуки собрались в правой нижней клетке. Найдите наименьшее количество клеток, не посещённых ни одним жуком.

Задача 3

Для решения сначала определим, сколько различных кнопок нажали каждая из тройняшек.

1. Обозначим количество кнопок, которые нажали:
   • Маша: 17 кнопок
   • Полина: 18 кнопок
   • Эрика: 20 кнопок

Обозначим количество кнопок, которые были нажаты трижды - \( x \).

Из условия известно, что все 25 кнопок загорелись, следовательно: \[ 17 + 18 + 20 - x = 25 \] В данном уравнении \( x \) нужно вычесть, так как кнопки, которые нажали трижды учтены в каждом из наборов. Решим уравнение:

\[ 55 - x = 25 \\ x = 55 - 25 = 30 \]

Таким образом, количество кнопок, которые были нажаты трижды, равно \( 30 \), что невозможно, так как у нас есть всего 25 кнопок. Нужно пересмотреть составное количество.

Используя другой подход, давайте добавим количество нажатий без учета повторных нажатий:

• Пусть \( a, b, c \) - это количество кнопок, которые нажаты один раз, дважды и трижды соответственно.
• Получаем систему уравнений по количеству раз нажатий: \[ a + 2b + 3c = 55 \] \[ a + b + c = 25 \]

В данной системе, из первого уравнения, выразим \( a \): \[ a = 55 - 2b - 3c \] Подставляем во второе уравнение: \[ (55 - 2b - 3c) + b + c = 25 \\ 55 - b - 2c = 25 \\ b + 2c = 30 \] Теперь статистика повторных нажатий дает нам:

1. Мы можем подставить \( c = 0 \) (никакие не нажатые),
2. \( a + b + 0 = 25 \)
3. \( 0 + 0 + c = 30 \) Переходя к округлению получаем, что минимум всего тройного - 5 кнопок.

Таким образом, количество кнопок, нажимаемых трижды, было 5.

Задача 4

Обозначим количество мужчин как \( M \), а женщин как \( W \). Из условия получаем:

• В данный момент танцуют \( \frac{2}{3}M \) мужчин и \( \frac{1}{5}W \) женщин.

Так как на парном танце \( \frac{2}{3}M = \frac{1}{5}W \), умножим обе части на 15: \[ 10M = 3W \\ W = \frac{10}{3}M \]

Также знаем, что общее количество людей \( M + W \leq 25 \): \[ M + \frac{10}{3}M \leq 25 \\ \frac{13}{3}M \leq 25 \] Умножим на 3: \[ 13M \leq 75 \\ M \leq \frac{75}{13} \approx 5.77 \] Следовательно, наибольшее значение \( M = 5 \).

Теперь подставим обратно: \[ W = \frac{10}{3} \times 5 = \frac{50}{3} \approx 16.67 \text{ (не целочисленное)} \]

Поскольку это не дает разумного ответа, пробуем \( M = 3 \): \[ W = 10 \\ M + W = 3 + 10 = 13 \]

Или \( M = 6 \): \[ W = 20 \\ M + W = 6 + 20 = 26 \]

Таким образом, наблизившись, мы получаем, что всего на балу присутствует 15 человек.

Задача 5

• Полина говорит, что Катя старше самой хитрой из нас. Исходя из условий, если Полина говорит правду (то есть она старшая), одна из двух должна быть самой хитрой. Но Катя и Лиза оба говорят, что они хитрые. Таким образом, нельзя, чтобы Полина была старшей, следовательно она - либо самая хитрая, либо Катя, либо Лиза.

Анализируя, Полина может быть правой, только если она говорит, что она не хитрая, тогда самая высокая - Лиза.

Кроме того, исходя из вышеизложенного, проверяем ситуации:

1. Если Полина - самая высокая, тогда речь невозможно в настоящее время, что она сама.
2. Если Лиза - самая высокая, тогда она говорит неправду.

Таким образом, результаты показывают, что Лиза - самая высокая.

Задача 6

В поле размером 10 х 12 имеется 7 жуков, которые двигаются к правому нижнему углу (10, 12). Чтобы найти минимальное количество клеток, которые не были посещены, давайте проанализируем возможные пути жуков и запишем шаги.

Согласно правилам, каждый жук совершает шаг вниз или вправо. Общее количество клеток от верхнего левого угла до низа вправо будет равно количеству вертикальных и горизонтальных шагов:

Число шагов:

• 9 шагов вниз
• 11 шагов вправо Итого: 20 шагов в клетках.

Наименьшее количество клеток, которые не посещены, вычисляем из общей площади: \[ 120 (общее количество клеток) - 20 (пройдены жучками) - 20 (дополнительные возможные пути) = 80. \]

Таким образом, не посещенные клетки составляют 80 клеток.