Жора задумал три натуральных числа a, b, c. Чему могут равняться a+b, b+c, a+c? • 303, 404, 505; • 209, 308, 407; • 101, 206, 407; • 209, 306, 601; • 105, 203, 301

Для решения этой задачи давайте рассмотрим три натуральные числа \( a \), \( b \) и \( c \) и определим, как складываются их суммы. Мы знаем, что:

1. \( a + b \)
2. \( b + c \)
3. \( a + c \)

Пусть эти суммы будут равны \( x \), \( y \) и \( z \) соответственно. Мы можем выразить \( a \), \( b \) и \( c \) через эти суммы:

\[ \begin{align*} a + b &= x, \\ b + c &= y, \\ a + c &= z. \end{align*} \]

Теперь, чтобы найти значения \( a \), \( b \) и \( c \), мы можем воспользоваться следующей формулой:

\[ \begin{align*} a &= \frac{x + z - y}{2}, \\ b &= \frac{x + y - z}{2}, \\ c &= \frac{y + z - x}{2}. \end{align*} \]

Важно обратить внимание на то, что \( a \), \( b \) и \( c \) должны быть натуральными числами, то есть их значения должны быть положительными и целыми.

Теперь давайте проверим каждый из предложенных наборов чисел:

1. 303, 404, 505: \[ a = \frac{303 + 505 - 404}{2} = 202, \\ b = \frac{303 + 404 - 505}{2} = 101, \\ c = \frac{404 + 505 - 303}{2} = 303. \]

   Все числа натуральные.

2. 209, 308, 407: \[ a = \frac{209 + 407 - 308}{2} = 153, \\ b = \frac{209 + 308 - 407}{2} = 54, \\ c = \frac{308 + 407 - 209}{2} = 253. \]

   Все числа натуральные.

3. 101, 206, 407: \[ a = \frac{101 + 407 - 206}{2} = 151, \\ b = \frac{101 + 206 - 407}{2} = -50, \\ c = \frac{206 + 407 - 101}{2} = 256. \]

   Здесь \( b \) не является натуральным числом.

4. 209, 306, 601: \[ a = \frac{209 + 601 - 306}{2} = 252, \\ b = \frac{209 + 306 - 601}{2} = -43, \\ c = \frac{306 + 601 - 209}{2} = 349. \]

   Здесь тоже \( b \) не является натуральным числом.

5. 105, 203, 301: \[ a = \frac{105 + 301 - 203}{2} = 101, \\ b = \frac{105 + 203 - 301}{2} = 3, \\ c = \frac{203 + 301 - 105}{2} = 199. \]

   Все числа натуральные.

Таким образом, нам подходят следующие наборы:

• 303, 404, 505
• 209, 308, 407
• 105, 203, 301

Ответ: Числа \( a + b \), \( b + c \) и \( a + c \) могут равняться \( 303, 404, 505 \) или \( 209, 308, 407 \) или \( 105, 203, 301 \).