дети путешественника во времени нашли в рабочем кабинете отца старый предмет 35 кнопочками, каждая из которых загорелось при нажатии, а при повторном нажатии гаснет изначально ни…

Для решения этой задачи удобно использовать понятие множества и пересечения множеств. Давайте обозначим:

• \( A \) - множество кнопок, нажатых Савелием.
• \( B \) - множество кнопок, нажатых Камилем.
• \( C \) - множество кнопок, нажатых Костей.

Из условия известно:

• \( |A| = 27 \) (Савелий нажал 27 кнопок),
• \( |B| = 26 \) (Камиль нажал 26 кнопок),
• \( |C| = 30 \) (Костя нажал 30 кнопок).

При этом все 35 кнопок загорелись.

Пусть \( x \) - количество кнопок, которые были нажаты всеми тремя, т.е. \( |A \cap B \cap C| = x \).

Теперь введем такие обозначения:

• \( a \) - количество кнопок, нажатых только Савелием,
• \( b \) - количество кнопок, нажатых только Камилем,
• \( c \) - количество кнопок, нажатых только Костей,
• \( d \) - количество кнопок, нажатых Савелием и Камилем, но не Костей,
• \( e \) - количество кнопок, нажатых Савелием и Костей, но не Камилем,
• \( f \) - количество кнопок, нажатых Камилем и Костей, но не Савелием.

Тогда можем записать следующее уравнение по количеству нажатых кнопок:

\[ a + b + c + d + e + f + x = 35. \]

Также у нас есть:

1. Для Савелия: \[ a + d + e + x = 27. \]

2. Для Камиля: \[ b + d + f + x = 26. \]

3. Для Кости: \[ c + e + f + x = 30. \]

Теперь у нас есть система из трех уравнений. Мы можем выразить \( a, b, c, d, e, f \) через \( x \):

1. Из первого уравнения:
   \( a + d + e = 27 - x \).

2. Из второго уравнения:
   \( b + d + f = 26 - x \).

3. Из третьего уравнения:
   \( c + e + f = 30 - x \).

Теперь подставим \( a + b + c \) через \( x \):

Объединим все три выражения:

\[ (27 - x) + (26 - x) + (30 - x) + (d + e + f + x) = 35. \]

Упростим:

\[ 27 + 26 + 30 - 3x + d + e + f + x = 35, \] \[ 83 - 2x + d + e + f = 35, \] \[ d + e + f = 2x - 48. \]

Теперь подставим это в первое уравнение:

\[ a + b + c + (2x - 48) + x = 35, \] где \( a + b + c = 83 - 3x \): \[ (83 - 3x) + (2x - 48) + x = 35. \]

Соединим уравнения:

\[ 83 - 3x + 2x - 48 + x = 35, \] \[ 83 - 48 = 35, \] Таким образом, у нас \( 35 = 35 \) выполняется для всех \( x \).

Теперь подставим \( x \):

Так как все параметры работают, нам нужно решить для \( x \). Основываясь на уравнениях:

1. Обозначим общее количество нажатий: Савелий + Камиль + Костя = 27 + 26 + 30 = 83.

Общее нажатие - количество уникальных кнопок:

• \( 83 - x \), где \( x \) - нажатые трижды кнопки.
• Мы знаем, что в итоге все кнопки загорелись (35).

Итак:

\[ 83 - 2x = 35, \]

Следовательно,

\[ 2x = 83 - 35, \]

\[ 2x = 48, \]

\[ x = 24. \]

Таким образом, количество кнопок, нажатых трижды, составляет 24.