Тройняшкам Маше, Полине и Х Эрике подарили детскую музыкальную игрушку с 25 кнопочками, каждая из которых загорается при нажатии, а при повторном нажатии — гаснет. Изначально ни…
Тройняшкам Маше, Полине и Х Эрике подарили детскую музыкальную игрушку с 25 кнопочками, каждая из которых загорается при нажатии, а при повторном нажатии — гаснет. Изначально ни одна из кнопок не горела. Сначала Маша нажала на 17 различных кнопок, потом Полина - на 18, а Эрика - на 20. В результате все кнопки загорелись. Сколько кнопок было нажато трижды? 4. На балу присутствует не более 25 человек. Они танцуют в парах (один мужчина и одна женщина). В настоящий момент танцуют 2/3 всех мужчин 1/5 и всех женщин. Сколько людей присутствует на балу?
Давайте разберем каждую задачу по отдельности.
Задача 1: Кнопки тройняшек
В задачи говорится, что:
- Маша нажала на 17 кнопок.
- Полина нажала на 18 кнопок.
- Эрика нажала на 20 кнопок.
В итоге все 25 кнопок загорелись. Для решения этой задачи мы можем использовать принцип включения-исключения.
Обозначим:
- \( |A| \) - количество кнопок, которые нажала Маша (17),
- \( |B| \) - количество кнопок, которые нажала Полина (18),
- \( |C| \) - количество кнопок, которые нажала Эрика (20),
- \( |A \cap B \cap C| \) - количество кнопок, которые были нажаты трижды (кнопки, которые при нажатии каждой из девушек загорелись трижды).
Обозначим количество кнопок, которые зажжены только одной девушкой, двумя или тремя. Нам необходимо выразить \( |A \cup B \cup C| \).
Согласно принципу включения-исключения: \[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| \] Мы знаем, что \( |A \cup B \cup C| = 25 \).
Подставим значения: \[ 25 = 17 + 18 + 20 - ( |A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| ) + |A \cap B \cap C| \] Пусть \( x = |A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| - |A \cap B \cap C| \), вместо \( x \) мы можем представить: \[ 25 = 55 - x \Rightarrow x = 30. \] Это означает, что сумма кнопок, которые были нажатым двумя разными тройняшками, минус кнопки, которые были нажаты всеми тремя, равна 30.
Теперь давайте назовем количество кнопок, которые были нажаты дважды, \( y \) и количество кнопок, которые были нажаты трижды, \( z \). Тогда можно записать: \[ y + 3z = 30. \] И также мы знаем, что количество нажатий: \[ 17 + 18 + 20 = 55. \] Количество нажатий кнопок также будет равно количеству кнопок, зажженных: \[ y + 2z = 55 - 25 = 30, \] Таким образом, мы имеем систему уравнений:
- \( y + 3z = 30 \)
- \( y + 2z = 30 \)
Вычтем из первого уравнения второе: \[ z = 0. \] Теперь подставим \( z = 0 \): \[ y = 30. \] Таким образом, наклонно зажженные кнопки были лишь нажаты двумя разными девушками, и, следовательно, кнопок, которые были нажаты трижды, нет.
Ответ: 0 кнопок было нажато трижды.
Задача 2: Бал
Пусть количество мужчин - \( M \), а женщин - \( W \).
Согласно условию задачи:
- На балу танцует \( \frac{2}{3}M \) мужчин,
- На балу танцует \( \frac{1}{5}W \) женщин.
Так как мужчина и женщина танцуют в паре, то мы можем записать равенство: \[ \frac{2}{3}M = \frac{1}{5}W \] Умножим обе стороны на 15 (наименьшее общее кратное 3 и 5): \[ 10M = 3W \Rightarrow W = \frac{10}{3}M. \]
Общая численность людей на балу: \[ N = M + W = M + \frac{10}{3}M = \frac{13}{3}M. \]
При этом число людей не может превышать 25: \[ \frac{13}{3}M \leq 25 \Rightarrow M \leq \frac{25 \times 3}{13} \approx 5.77. \] Следовательно, максимально возможное целое число мужчин: \[ M \leq 5. \]
Подставим \( M = 5 \): \[ W = \frac{10}{3} \times 5 = \frac{50}{3} \approx 16.67. \] Округляя, это не дает целочисленное значение.
Подставим \( M = 3 \): \[ W = \frac{10}{3} \times 3 = 10. \] Вместе на балу: \[ N = 3 + 10 = 13. \]
Подставим \( M = 4 \): \[ W = \frac{10}{3} \times 4 = \frac{40}{3} \approx 13.33. \] Не дает целого числа.
Число людей на балу станет .
Таким образом, правильный ответ на вторую задачу: На балу 13 человек.
