при нажатии на кнопку этажа в лифте 23-этажного дома кнопка загорается,а при повторном нажатии гаснет. В лифт зашлиВася,Коля, и Петя.Вася нажал на 12 различных кнопок, Коля на…
При нажатии на кнопку этажа в лифте 23-этажного дома кнопка загорается,а при повторном нажатии гаснет. В лифт зашлиВася,Коля, и Петя.Вася нажал на 12 различных кнопок, Коля на 14,Петя на 19.Изночально ни одна кнопка не горела, а в результате загорелись все. Сколько кнопок было нажата трижды
Для решения этой задачи давайте сначала разберемся с информацией.
У нас есть лифт с 23 этажами, всего 23 кнопки. Из первоначального состояния, когда никаких кнопок не нажимали, ни одна кнопка не горела. Вася, Коля и Петя нажали на свои кнопки:
- Вася нажал на 12 различных кнопок
- Коля нажал на 14 различных кнопок
- Петя нажал на 19 различных кнопок
В итоге все 23 кнопки загорелись. Теперь давайте обозначим количество кнопок, которые были нажаты:
- \( x \) — количество кнопок, на которые нажали все трое (то есть трижды)
- \( y \) — количество кнопок, на которые нажали два человека
- \( z \) — количество кнопок, на которые нажал только один человек.
Итак, общее количество различных нажатий:
- Вася: 12
- Коля: 14
- Петя: 19
Общее количество нажатий: \[ 12 + 14 + 19 = 45 \] При этом мы знаем, что каждая кнопка, которая горит, была пожата нечетное количество раз (один или трижды). Теперь, учитывая, что все 23 кнопки зажглись, мы можем записать уравнения:
Количество нажатий кнопок можно представить как: \[ x + y + z = 23 \] Где \( x \) — кнопки, нажанные трижды; \( y \) — кнопки, нажанные дважды; и \( z \) — кнопки, нажанные один раз.
И количество нажатий: \[ 3x + 2y + 1z = 45 \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений. Мы можем выразить \( z \) из первого уравнения: \[ z = 23 - x - y \]
Подставим это во второе уравнение: \[ 3x + 2y + (23 - x - y) = 45 \] Упрощая, получаем: \[ 3x + 2y + 23 - x - y = 45 \] \[ 2x + y = 22 \]
Теперь у нас есть система:
- \( x + y + z = 23 \)
- \( 2x + y = 22 \)
Теперь выразим \( y \) из второго уравнения: \[ y = 22 - 2x \]
Подставим это в первое уравнение: \[ x + (22 - 2x) + z = 23 \] \[ 22 - x + z = 23 \] \[ z = 23 - 22 + x = 1 + x \]
Теперь подставим значение \( z = 1 + x \) обратно в \( x + y + z = 23 \): \[ x + (22 - 2x) + (1 + x) = 23 \] \[ 22 = 23 \]
Отсюда видно, что \( x \) равен 11.
Таким образом, количество кнопок, которые были нажаты трижды, составляет 11.
