На балу присутствует не более 60 человек. Они танцуют в парах( один мужчина и одна женщина). В настоящий момент танцуют 3/4 всех мужчин и 4/5 всех женщин. Сколько людей…

Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом.

Обозначим количество мужчин как \( M \), а количество женщин как \( W \). Согласно условию, на балу танцуют 3/4 всех мужчин и 4/5 всех женщин. Мы знаем, что: \[ M + W \leq 60 \]

Сейчас давайте выразим количество танцующих мужчин и женщин:

• Танцующие мужчины: \( \frac{3}{4} M \)
• Танцующие женщины: \( \frac{4}{5} W \)

Так как танцующие пары состоят из одного мужчины и одной женщины, то их количество должно быть одинаковым. Мы можем записать следующее равенство: \[ \frac{3}{4} M = \frac{4}{5} W \]

Теперь решим это уравнение. Умножим обе стороны на \( 20 \) (наименьшее общее кратное 4 и 5), чтобы избавиться от дробей: \[ 20 \cdot \frac{3}{4} M = 20 \cdot \frac{4}{5} W \] \[ 15 M = 16 W \]

Теперь выразим \( W \) через \( M \): \[ W = \frac{15}{16} M \]

Подставим это значение в неравенство \( M + W \leq 60 \): \[ M + \frac{15}{16} M \leq 60 \] \[ \frac{16}{16} M + \frac{15}{16} M \leq 60 \] \[ \frac{31}{16} M \leq 60 \]

Теперь умножим обе стороны на 16: \[ 31 M \leq 960 \]

Дальше делим обе стороны на 31: \[ M \leq \frac{960}{31} \approx 30,97 \]

Так как количество мужчин должно быть целым числом, то максимальное значение \( M \) возможно равно 30.

Теперь подставим \( M = 30 \) в выражение для \( W \): \[ W = \frac{15}{16} \cdot 30 = \frac{450}{16} = 28,125 \]

Поскольку \( W \) также должно быть целым числом, проверим ближайшие целые числа. Если \( M = 30 \), то \( W \) должно быть 28 (по тому, чтобы не превышать 60).

Теперь проверяем:

• Если \( M = 32 \), то \( W = 30 \) (чтобы соблюсти максимально 60), но это приведет к тому, что \( \frac{3}{4}M = 24\) и \( \frac{4}{5}W = 24\), что совпадает.

Таким образом, на балу присутствует: \[ M + W = 32 + 30 = 62 \, \text{человека}, \, \text{чего быть не должно.} \]

Подводя итог, при максимальном числе мужчин 30 и женщин 30 общее число людей на балу: \[ 30 + 30 = 60 \]

Итак, на балу присутствует 60 человек.