12:57 R 4Gl Даша нарисовала прямоугольник с целыми сторонами. Катя нарисовала свой прямоугольник, уменьшив длину Дашиного на 1 и увеличив ширину на 3. Таня тоже нарисовала свой…

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. Обозначим стороны прямоугольника Даши как \( a \) (длина) и \( b \) (ширина). Тогда площадь прямоугольника Даши будет: \[ S_D = a \cdot b \]

2. Катя уменьшила длину на 1 и увеличила ширину на 3, поэтому её прямоугольник имеет следующие параметры:

   • Длина: \( a - 1 \)
   • Ширина: \( b + 3 \)
   • Площадь Кати: \[ S_K = (a - 1)(b + 3) = ab + 3a - b - 3 \]

3. Таня уменьшила длину на 3 и увеличила ширину на 6, следовательно, её прямоугольник имеет:

   • Длина: \( a - 3 \)
   • Ширина: \( b + 6 \)
   • Площадь Тани: \[ S_T = (a - 3)(b + 6) = ab + 6a - 3b - 18 \]

4. По условию задачи, площади прямоугольников Кати и Тани равны: \[ S_K = S_T \] Подставим выражения для площадей: \[ ab + 3a - b - 3 = ab + 6a - 3b - 18 \] Сократим \( ab \) по обеим сторонам: \[ 3a - b - 3 = 6a - 3b - 18 \] Переносим всё в одну сторону: \[ 3a - b - 3 - 6a + 3b + 18 = 0 \] Упрощаем: \[ -3a + 2b + 15 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2b = 3a - 15 \quad \Rightarrow \quad b = \frac{3a - 15}{2} \]

5. Мы знаем, что \( b \) должно быть целым числом, следовательно, \( 3a - 15 \) должно быть четным. Это возможно, если \( a \) — целое число. Затем, чтобы \( b \) также было целым, \( 3a - 15 \) должно быть кратно 2, что означает, что \( a \) должно быть нечетным числом.

6. Теперь можно проверить предложенные варианты периметра Дашиного прямоугольника. Периметр \( P \) Дашиного прямоугольника определяется как: \[ P = 2(a + b) = 2\left(a + \frac{3a - 15}{2}\right) = 2\left(\frac{5a - 15}{2}\right) = 5a - 15 \]

7. При решении для предложенных значений периметра:

• Для \( P = 56 \): \[ 5a - 15 = 56 \quad \Rightarrow \quad 5a = 71 \quad \Rightarrow \quad a = 14.2 \quad (\text{не целое}) \]
• Для \( P = 72 \): \[ 5a - 15 = 72 \quad \Rightarrow \quad 5a = 87 \quad \Rightarrow \quad a = 17.4 \quad (\text{не целое}) \]
• Для \( P = 76 \): \[ 5a - 15 = 76 \quad \Rightarrow \quad 5a = 91 \quad \Rightarrow \quad a = 18.2 \quad (\text{не целое}) \]
• Для \( P = 90 \): \[ 5a - 15 = 90 \quad \Rightarrow \quad 5a = 105 \quad \Rightarrow \quad a = 21 \quad (\text{целое}) \]
• Для \( P = 292 \): \[ 5a - 15 = 292 \quad \Rightarrow \quad 5a = 307 \quad \Rightarrow \quad a = 61.4 \quad (\text{не целое}) \]

Таким образом, единственное возможное значение периметра прямоугольника Даши — это 90.