log2(log2(7x²-6x))<=2

Для решения неравенства \( \log_2(\log_2(7x^2 - 6x)) \leq 2 \), давайте пройдем через несколько шагов.

1. Перепишем неравенство: \[ \log_2(\log_2(7x^2 - 6x)) \leq 2 \]

   Это можно переписать, воспользовавшись свойством логарифмов. Неравенство эквивалентно: \[ \log_2(7x^2 - 6x) \leq 2^2 \] что равнозначно: \[ \log_2(7x^2 - 6x) \leq 4 \]

2. Уберем логарифм: Применяя обратное действие к логарифму, получаем: \[ 7x^2 - 6x \leq 2^4 \] или \[ 7x^2 - 6x \leq 16 \]

3. Переносим всё в одну сторону: \[ 7x^2 - 6x - 16 \leq 0 \]

4. Решаем квадратное неравенство: Сначала найдем корни уравнения \( 7x^2 - 6x - 16 = 0 \) с использованием формулы корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 7 \), \( b = -6 \), \( c = -16 \).

   Подставляем значения: \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-16)}}{2 \cdot 7} \] \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 448}}{14} \] \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{484}}{14} \] \[ x = \frac{6 \pm 22}{14} \]

   Таким образом, мы получаем два корня: \[ x_1 = \frac{28}{14} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-16}{14} = -\frac{8}{7} \]

5. Анализируем интервалы: Теперь у нас есть точки деления: \( -\frac{8}{7} \) и \( 2 \). Проверим знаки в интервалах:

   • Для \( x < -\frac{8}{7} \), например \( x = -2 \): \( 7(-2)^2 - 6(-2) - 16 > 0 \)
   • Для \( -\frac{8}{7} < x < 2 \), например \( x = 0 \): \( 7(0)^2 - 6(0) - 16 < 0 \)
   • Для \( x > 2 \), например \( x = 3 \): \( 7(3)^2 - 6(3) - 16 > 0 \)

   Таким образом, неравенство \( 7x^2 - 6x - 16 \leq 0 \) выполняется на интервале: \[ -\frac{8}{7} \leq x \leq 2 \]

6. Проверка условий логарифмов: Необходимо также убедиться, что аргумент логарифма положителен: \[ 7x^2 - 6x > 0 \] Найдем корни этого уравнения - это тоже \( x = 0 \) и \( x = \frac{6}{7} \). Неравенство \( 7x^2 - 6x > 0 \) будет выполняться для \( x < 0 \) или \( x > \frac{6}{7} \).

Таким образом, мы должны взять пересечение:

• \( -\frac{8}{7} \leq x \leq 2 \)
• \( x < 0 \) или \( x > \frac{6}{7} \)

Итоговое решение будет: \[ -\frac{8}{7} \leq x < 0 \quad \text{или} \quad \frac{6}{7} < x \leq 2 \]

Это и есть окончательное решение неравенства.