В левой верхней клетке прямоугольной клетчатой поляны 11 × 13 сидят 7 жуков. За один ход один из жуков переползает на одну клетку вправо или на одну клетку вниз. Через несколько ходов все жуки собрались в правой нижней клетке. Найдите наименьшее количество клеток, не посещённых ни одним жуком.

Чтобы найти наименьшее количество клеток, не посещённых ни одним жуком, давайте сначала рассмотрим размеры поля и поведение жуков.

Дано поле размером 11 × 13 клеток, что означает, что у нас есть 11 строк и 13 столбцов. Жуки находятся в левой верхней клетке (1,1) и перемещаются вправо или вниз, добираясь до правой нижней клетки (11, 13).

Каждый жук, начиная с клетки (1, 1), должен пройти 10 клеток вниз и 12 клеток вправо. Таким образом, каждый жук должен сделать в общей сложности 22 хода (10 вниз + 12 вправо).

Теперь пойдем по шагам:

1. Все жуки движутся из одной и той же стартовой клетки (1,1) в одну и ту же конечную клетку (11, 13).
2. На каждом шаге жуки могут занимать новые клетки. Временные клетки, которые они пересекают, будут находиться в пределах прямоугольника от (1, 1) до (11, 13).
3. Чтобы определить наименьшее количество клеток, которые не будут посещены, нам нужно понять, сколько клеток существует на этом пути.

Так как жуки могут двигаться только вниз или вправо, то их маршрут можно представить в виде прямоугольного треугольника, где все клетки, через которые они проходят от (1, 1) до (11, 13), будут посещены. Это включает в себя все клетки на пути.

Когда жуки собираются в правой нижней клетке, они, вероятно, еще будут перемещаться по возможным маршрутам, и поскольку они могут пересекаться друг с другом, это также повлияет на количество посещённых клеток.

Теперь давайте посчитаем количество клеток на всем квадрате 11 × 13:

\[ 11 \times 13 = 143 \text{ клеток.} \]

Однако жуки не будут посещать клетки, которые находятся в области, где они никогда не могут прийти. Например, если жуки находятся в левом верхнем углу, они могут не посещать клетки в правом верхнем углу и левом нижнем углу, так как у них нет прямого пути туда, если они собираются в правой нижней клетке.

Клетки, которые они могут не посетить, находятся за пределами диагонали, соединяющей (1,1) и (11,13). Эти клетки находятся в следующих областях (так как указанное движение направлено вниз или вправо):

Количество клеток, которые могут оставаться не посещёнными, можно найти по диагонали (число клеток, лежащих под диагональю и справа от неё):

1. Жуки могут избегать клеток в правом верхнем треугольнике и левом нижнем треугольнике.
2. Каждая клетка в этом треугольнике не будет посещена — это включает клетки от (1,2) до (1,13) и (2,1) до (11,1) кроме самой конечной (11,13).

В результате, по опыту можно предположить, что, избегая посещения клеток, не входящих в маршрут жуков, минимальное количество непосещённых клеток будет приблизительно:

\[ \text{наименьшее количество непосещённых клеток} = 143 - 22 = 121. \]

Таким образом, наименьшее количество клеток, не посещённых ни одним жуком, составляет 121 клетка.