Тройняшкам Маше, Полине и Эрике подарили детскую музыкальную игрушку с 25 кнопочками, каждая из которых загорается при нажатии, а при повторном нажатии - гаснет. Изначально ни…
Тройняшкам Маше, Полине и Эрике подарили детскую музыкальную игрушку с 25 кнопочками, каждая из которых загорается при нажатии, а при повторном нажатии - гаснет. Изначально ни одна из кнопок не горела. Сначала Маша нажала на 17 различных кнопок, потом Полина — на 18, а Эрика — на 20. В результате все кнопки загорелись Сколько кнопок было нажато трижды?
Для решения этой задачи воспользуемся принципом включения-исключения.
Обозначим:
- \( A \) — множество кнопок, нажатых Машей,
- \( B \) — множество кнопок, нажатых Полиной,
- \( C \) — множество кнопок, нажатых Эрикой.
По условию задачи:
- \( |A| = 17 \)
- \( |B| = 18 \)
- \( |C| = 20 \)
- Все 25 кнопок загорелись после нажатий, следовательно, каждая кнопка должна быть нажата хотя бы один раз.
Количество кнопок, которые были нажаты не менее одного раза, можно выразить как: \[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| \] где \( |A \cap B| \), \( |A \cap C| \) и \( |B \cap C| \) — это количество кнопок, которые были нажаты двумя из трёх девочек, а \( |A \cap B \cap C| \) — количество кнопок, нажатых всеми тремя девочками.
Итак, подставим данные. Нам известно, что всего зарегистрировано нажатие на 25 кнопок, тогда: \[ 25 = 17 + 18 + 20 - (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) + |A \cap B \cap C| \]
Сложим 17, 18 и 20: \[ 17 + 18 + 20 = 55 \]
Таким образом, у нас есть: \[ 25 = 55 - (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) + |A \cap B \cap C| \]
Это можно переписать как: \[ |A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| - |A \cap B \cap C| = 30 \]
Теперь, чтобы найти количество кнопок, которые были нажаты трижды (\( |A \cap B \cap C| \)), обозначим это количество за \( x \). Тогда: \[ |A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| = 30 + x \]
Согласно принципу включения-исключения, есть ограничение, что \( |A| + |B| + |C| - 2x \leq 25 \) (так как каждая кнопка может повторяться 2 раза в парах). Подставим значения: \[ 55 - 2x \leq 25 \]
Решим это неравенство: \[ 55 - 25 \leq 2x \] \[ 30 \leq 2x \] \[ 15 \leq x \]
Так как \( x \) (кнопки, нажаты трижды) должно быть целым числом, максимальное значение для \( x \) определяется также количеством кнопок, нам известен. Если 3 кнопки каждый из 3 зарегистрированных нажатий, значит 15 кнопок могут быть кнопками, нажатыми трижды.
Таким образом, количество кнопок, которые были нажаты трижды, составляет:
15 кнопок.
