Груз неизвестной массы растягивает пружину на 2 2 см. Если добавить к этому грузу груз массой 1 , 5 1,5 кг, то пружина растянется на 6 6 см. Чему равна жёсткость пружины?
Для решения этой задачи воспользуемся законом Гука, который гласит, что сила, растягивающая пружину, пропорциональна её деформации. Сформулируем уравнение для каждого из двух состояний, когда пружина растягивается на 2 см и на 6 см.
Обозначим:
- массу первого груза как \( m_1 \) (в кг);
- массу второго груза как \( m_2 = 1.5 \) кг;
- жёсткость пружины как \( k \) (в Н/м);
- растяжение пружины при первом грузе как \( x_1 = 0.02 \) м;
- растяжение пружины при втором грузе как \( x_2 = 0.06 \) м.
Согласно закону Гука:
Для первого груза: \[ m_1 \cdot g = k \cdot x_1 \] (где \( g \) - ускорение свободного падения, равное 9.81 м/с²)
Для второго груза: \[ (m_1 + m_2) \cdot g = k \cdot x_2 \]
Теперь подставим \( m_2 \) и выразим систему уравнений:
Первое уравнение: \[ m_1 \cdot 9.81 = k \cdot 0.02 \]
Второе уравнение: \[ (m_1 + 1.5) \cdot 9.81 = k \cdot 0.06 \]
Теперь выразим \( k \) через \( m_1 \) из первого уравнения: \[ k = \frac{m_1 \cdot 9.81}{0.02} \] Подставим это значение во второе уравнение: \[ (m_1 + 1.5) \cdot 9.81 = \frac{m_1 \cdot 9.81}{0.02} \cdot 0.06 \]
Упростим это: \[ (m_1 + 1.5) \cdot 9.81 = m_1 \cdot 9.81 \cdot 3 \]
Теперь упростим уравнение: \[ m_1 + 1.5 = 3m_1 \]
Переносим \( m_1 \) в одну сторону: \[ 1.5 = 3m_1 - m_1 \] \[ 1.5 = 2m_1 \] \[ m_1 = 0.75 \text{ кг} \]
Теперь подставим \( m_1 \) обратно для нахождения \( k \): \[ k = \frac{0.75 \cdot 9.81}{0.02} = \frac{7.365}{0.02} = 368.25 \text{ Н/м} \]
Таким образом, жёсткость пружины равна примерно \( 368.25 \) Н/м.
