Из клетчатого квадрата 9 х 9 вырезали часть угловых клеток, а оставшуюся фигуру разбили на квадраты со сторонами 1 и 3 так, чтобы квадратов каждого типа получилось поровну.…

Для решения этой задачи сначала определим, сколько клеток в квадратике 9 х 9. Всего клеток в квадрате 9 х 9 будет 9 × 9 = 81 клетка.

Пусть мы вырезали \( x \) клеток и осталась фигура с \( 81 - x \) клетками. Эта фигура должна быть разбита на квадраты размером 1 × 1 и 3 × 3 так, чтобы количество квадратов каждого типа было одинаковым.

Обозначим количество квадратов размером 1 × 1 как \( n \) и количество квадратов размером 3 × 3 также как \( n \) (так как их должно быть поровну).

Каждый квадрат размером 3 × 3 занимает 9 клеток, следовательно, общее количество клеток, занимаемых всеми квадратами, будет:

\[ n \cdot 1 + n \cdot 9 = 10n \]

Таким образом, мы имеем уравнение:

\[ 81 - x = 10n \]

Это уравнение показывает, что \( 81 - x \) должно быть кратно 10. Теперь найдем, какие значения может принимать \( x \).

Весь квадрат в 81 клетку. Чтобы \( 81 - x \) было кратно 10, \( x \) должно быть таким, чтобы 81 - x = 0, 10, 20, ..., при этом \( x \) должно быть не больше 81.

Решим уравнение:

1. \( 81 - x = 0 \) → \( x = 81 \)
2. \( 81 - x = 10 \) → \( x = 71 \)
3. \( 81 - x = 20 \) → \( x = 61 \)
4. \( 81 - x = 30 \) → \( x = 51 \)
5. \( 81 - x = 40 \) → \( x = 41 \)
6. \( 81 - x = 50 \) → \( x = 31 \)
7. \( 81 - x = 60 \) → \( x = 21 \)
8. \( 81 - x = 70 \) → \( x = 11 \)
9. \( 81 - x = 80 \) → \( x = 1 \)

Теперь находим возможные значения \( x \):

\( x = 1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81 \).

Однако \( x \) должно представлять количество угловых клеток, которые можно вырезать. Угловые клетки — это клетки (1,1), (1,9), (9,1), (9,9). Поскольку в квадрате 9 × 9 всего 4 угловые клетки, мы учитываем только значения \( x \), которые меньше или равны 4.

Таким образом, возможное количество угловых клеток, которые могли быть вырезаны, составляет:

Ответ: 0, 1, 2, 3 или 4 клетки.