Выясните, является ли функция f(x)=(2x+1)^3/(x-2)+(2x-1)^3/(x+2) чётной или нечётной

Чтобы выяснить, является ли функция \( f(x) = \frac{(2x+1)^3}{(x-2)} + \frac{(2x-1)^3}{(x+2)} \) четной или нечетной, нужно проверить свойства четных и нечетных функций.

Четная функция удовлетворяет условию: \[ f(-x) = f(x) \]

Нечетная функция удовлетворяет условию: \[ f(-x) = -f(x) \]

Теперь найдем \( f(-x) \):

1. Подставим \(-x\) в функцию: \[ f(-x) = \frac{(2(-x)+1)^3}{(-x-2)} + \frac{(2(-x)-1)^3}{(-x+2)} \] Это упрощается до: \[ f(-x) = \frac{(-2x+1)^3}{(-x-2)} + \frac{(-2x-1)^3}{(-x+2)} \]

2. Упрощаем каждую дробь:

   • Для первой дроби: \((-2x+1)^3 = -(2x-1)^3\) и \((-x-2) = -(x+2)\), значит: \[ \frac{(-2x+1)^3}{(-x-2)} = \frac{-(2x-1)^3}{-(x+2)} = \frac{(2x-1)^3}{(x+2)} \]

   • Для второй дроби: \((-2x-1)^3 = -(2x+1)^3\) и \((-x+2) = -(x-2)\), значит: \[ \frac{(-2x-1)^3}{(-x+2)} = \frac{-(2x+1)^3}{-(x-2)} = \frac{(2x+1)^3}{(x-2)} \]

3. Теперь подставляем значень: \[ f(-x) = \frac{(2x-1)^3}{(x+2)} + \frac{(2x+1)^3}{(x-2)} \]

Сравниваем \( f(-x) \) с \( -f(x) \): 4. Умножим \( f(x) \) на -1: \[ -f(x) = -\left(\frac{(2x+1)^3}{(x-2)} + \frac{(2x-1)^3}{(x+2)}\right) \] Это равняется: \[ -f(x) = -\frac{(2x+1)^3}{(x-2)} - \frac{(2x-1)^3}{(x+2)} \]

Итак, мы видим, что \( f(-x) \) не равно ни \( f(x) \) (нечетная функция), ни \(-f(x)\) (к четной функции). Таким образом, функция \( f(x) \) не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: Функция \( f(x) \) не является ни четной, ни нечетной.