Даша нарисовала прямоугольник с целыми сторонами. Катя нарисовала свой прямоугольник, уменьшив длину Дашиного на 3 и увеличив ширину на 1. Таня тоже нарисовала свой прямоугольник,…
Даша нарисовала прямоугольник с целыми сторонами. Катя нарисовала свой прямоугольник, уменьшив длину Дашиного на 3 и увеличив ширину на 1. Таня тоже нарисовала свой прямоугольник, уменьшив длину Дашиного на 4 и увеличив ширину на 3. Оказалось, что площади прямоугольников Кати и Тани равны. Выберите все возможные значения периметра прямоугольника Даши: 44 46 48 92 192
Давайте начнем с того, что обозначим длину и ширину прямоугольника Даши как \( l \) и \( w \) соответственно. Тогда, по условиям задачи, можем записать следующие выражения для площадей прямоугольников Кати и Тани.
Площадь прямоугольника Кати: \[ S_{Катя} = (l - 3)(w + 1) = lw + l - 3w - 3 \]
Площадь прямоугольника Тани: \[ S_{Таня} = (l - 4)(w + 3) = lw + 3l - 4w - 12 \]
Согласно условию, площади Кати и Тани равны: \[ S_{Катя} = S_{Таня} \]
Подставим выражения для площадей и упростим уравнение: \[ lw + l - 3w - 3 = lw + 3l - 4w - 12 \]
Сократим \( lw \) с обеих сторон: \[ l - 3w - 3 = 3l - 4w - 12 \]
Переносим все члены, содержащие \( l \) и \( w \), на одну сторону: \[ l - 3l + 4w - 3 + 12 = 0 \] \[ -2l + w + 9 = 0 \]
Таким образом, мы можем выразить \( w \) через \( l \): \[ w = 2l - 9 \]
Теперь, чтобы найти возможные периметры прямоугольника Даши, нам необходимо использовать формулу периметра: \[ P = 2(l + w) = 2(l + (2l - 9)) = 2(3l - 9) = 6l - 18 \]
Далее, давайте подставим целые значения для \( l \), чтобы у нас был положительный \( w \): \[ 2l - 9 > 0 \quad \Rightarrow \quad 2l > 9 \quad \Rightarrow \quad l > 4.5 \] Поскольку \( l \) – целое число, она может принимать значения \( l \geq 5 \).
Теперь подставим возможные значения \( l \), чтобы проверить, какие периметры соответствуют данным вариантам:
Если \( l = 5 \): \[ P = 6 \cdot 5 - 18 = 30 - 18 = 12 \]
Если \( l = 6 \): \[ P = 36 - 18 = 18 \]
Если \( l = 7 \): \[ P = 42 - 18 = 24 \]
Если \( l = 8 \): \[ P = 48 - 18 = 30 \]
Если \( l = 9 \): \[ P = 54 - 18 = 36 \]
Если \( l = 10 \): \[ P = 60 - 18 = 42 \]
Если \( l = 11 \): \[ P = 66 - 18 = 48 \]
Если \( l = 12 \): \[ P = 72 - 18 = 54 \]
Если \( l = 14 \): \[ P = 84 - 18 = 66 \]
Если \( l = 15 \): \[ P = 90 - 18 = 72 \]
Если \( l = 16 \): \[ P = 96 - 18 = 78 \]
Если \( l = 17 \): \[ P = 102 - 18 = 84 \]
Мы получаем, что возможные значения периметра равны: \( 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84 \).
Сравним с предложенными вариантами:
- 44
- 46
- 48
- 92
- 192
Таким образом, единственным подходящим значением периметра прямоугольника Даши является 48.
