на балу присутствует не более 20 человек. Они танцуют в парах (один мужчина и одна женщина). В настоящий момент танцует ⅖ всех мужчин и 4/7 всех женщин. Сколько людей присутствует…

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Обозначим количество мужчин как \( M \), а количество женщин как \( W \). По условию задачи сказано, что на балу присутствует не более 20 человек, то есть:

\[ M + W \leq 20. \]

Из данной информации мы знаем, что танцует \( \frac{2}{5}M \) мужчин и \( \frac{4}{7}W \) женщин. Раз мужчины и женщины танцуют в парах, то количество танцующих мужчин равно количеству танцующих женщин:

\[ \frac{2}{5}M = \frac{4}{7}W. \]

Теперь давайте выразим \( W \) через \( M \). Умножим обе стороны уравнения на \( 35 \) (наименьшее общее кратное 5 и 7):

\[ 35 \cdot \frac{2}{5}M = 35 \cdot \frac{4}{7}W, \]

что упрощается до:

\[ 14M = 20W. \]

Теперь выразим \( W \):

\[ W = \frac{14}{20}M = \frac{7}{10}M. \]

Теперь подставим это значение \( W \) в неравенство о количестве людей на балу:

\[ M + \frac{7}{10}M \leq 20. \]

Сложим \( M \) и \( \frac{7}{10}M \):

\[ \frac{10}{10}M + \frac{7}{10}M = \frac{17}{10}M. \]

Теперь неравенство выглядит так:

\[ \frac{17}{10}M \leq 20. \]

Умножим обе стороны на 10, чтобы избавиться от дроби:

\[ 17M \leq 200. \]

Теперь делим на 17:

\[ M \leq \frac{200}{17} \approx 11.76. \]

Так как количество мужчин \( M \) должно быть целым числом, максимальное целое значение — 11.

Теперь найдем соответствующее значение \( W \):

Если \( M = 11 \):

\[ W = \frac{7}{10} \cdot 11 = 7.7. \]

Но \( W \) также должно быть целым числом, так что посмотрим, что будет, если \( M = 10 \):

\[ W = \frac{7}{10} \cdot 10 = 7. \]

Таким образом, если:

• \( M = 10 \)
• \( W = 7 \)

Проверяем общее количество:

\[ M + W = 10 + 7 = 17 \]

Это меньше 20. Проверяем, сколько танцует:

• Мужчин: \( \frac{2}{5} \cdot 10 = 4 \)
• Женщин: \( \frac{4}{7} \cdot 7 = 4 \)

Количество танцующих пар совпадает.

Итак, на балу присутствует 17 человек.