Из клетчатого квадрата 7 × 7 вырезали часть угловых клеток, а оставшуюся фигуру разбили на квадраты со сторонами 1 и 2 так, чтобы квадратов каждого типа получилось поровну.…

Для решения задачи обратим внимание на то, что у нас есть квадрат размером 7 × 7, то есть всего 49 клеток. Вырезание некоторых угловых клеток создаст новую фигуру, и мы будем разбивать эту фигуру на квадраты размером 1 × 1 и 2 × 2.

Обозначим количество квадратов 1 × 1 как \( x \) и количество квадратов 2 × 2 как \( x \), так как их должно быть одинаковое число.

Сначала найдем, сколько клеток занимает каждый тип квадрата:

• Квадрат 1 × 1 занимает 1 клетку, итого \( x \) квадратов займут \( x \) клеток.
• Квадрат 2 × 2 занимает 4 клетки, итого \( x \) квадратов займут \( 4x \) клеток.

Теперь составим уравнение из общего количества клеток: \[ x + 4x = 49 - n \] где \( n \) – это количество вырезанных клеток.

Объединим подобные слагаемые: \[ 5x = 49 - n \]

Приведем это уравнение в вид: \[ n = 49 - 5x \]

Чтобы \( n \) было неотрицательным числом, необходимо, чтобы \( 49 - 5x \geq 0 \), что приводит к неравенству: \[ 49 \geq 5x \quad \Rightarrow \quad x \leq \frac{49}{5} = 9.8 \] Таким образом, максимум \( x \) может быть равен 9 (так как \( x \) должно быть целым числом).

Теперь \( x \) может принимать значения от 0 до 9. Посчитаем, сколько клеток может быть вырезано для каждого значения \( x \):

• Если \( x = 0 \), то \( n = 49 - 5(0) = 49 \).
• Если \( x = 1 \), то \( n = 49 - 5(1) = 44 \).
• Если \( x = 2 \), то \( n = 49 - 5(2) = 39 \).
• Если \( x = 3 \), то \( n = 49 - 5(3) = 34 \).
• Если \( x = 4 \), то \( n = 49 - 5(4) = 29 \).
• Если \( x = 5 \), то \( n = 49 - 5(5) = 24 \).
• Если \( x = 6 \), то \( n = 49 - 5(6) = 19 \).
• Если \( x = 7 \), то \( n = 49 - 5(7) = 14 \).
• Если \( x = 8 \), то \( n = 49 - 5(8) = 9 \).
• Если \( x = 9 \), то \( n = 49 - 5(9) = 4 \).

Таким образом, количество клеток, которое могло быть вырезано, может составлять 49, 44, 39, 34, 29, 24, 19, 14, 9 или 4. Эти значения определяют, сколько угловых клеток можно вырезать, чтобы потом разделить оставшиеся клетки на квадраты 1 × 1 и 2 × 2 в равных количествах.