5+ х+2/х-4 = 48/х²-16
Для решения уравнения \(5 + \frac{x + 2}{x - 4} = \frac{48}{x^2 - 16}\), сначала упростим его. Обратите внимание, что \(x^2 - 16\) можно разложить:
\[ x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) \]
Таким образом, уравнение можно записать как:
\[ 5 + \frac{x + 2}{x - 4} = \frac{48}{(x - 4)(x + 4)} \]
Теперь умножим обе стороны уравнения на \((x - 4)(x + 4)\) для устранения дробей, получив:
\[ 5(x - 4)(x + 4) + (x + 2)(x + 4) = 48 \]
Раскроем скобки:
- \(5(x - 4)(x + 4) = 5(x^2 - 16) = 5x^2 - 80\)
- \((x + 2)(x + 4) = x^2 + 6x + 8\)
Теперь подставим эти результаты в уравнение:
\[ 5x^2 - 80 + x^2 + 6x + 8 = 48 \]
Сложим подобные члены:
\[ 6x^2 + 6x - 72 = 48 \]
Переносим 48 на другую сторону:
\[ 6x^2 + 6x - 120 = 0 \]
Теперь упростим уравнение, разделив все члены на 6:
\[ x^2 + x - 20 = 0 \]
Это квадратное уравнение можно решить с помощью формулы корней или разложения. Разложим его:
\[ x^2 + x - 20 = (x - 4)(x + 5) = 0 \]
Таким образом, у нас есть два решения:
\[ x - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 4 \] \[ x + 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -5 \]
Однако, не забываем, что значение \(x = 4\) приводит к неопределенности в исходном уравнении из-за деления на ноль. Поэтому решение \(x = 4\ не подходит. Окончательное решение: \[ x = -5 \] Так что \(x = -5\) является единственным подходящим решением.
