Тройняшки Маше, Полине и Эрике подарили детскую музыкальную игрушку с 25 кнопочками, каждая из которых загорается при нажимании, а при повторном нажатии - гаснет. Сначала Маша…

Для того чтобы решить эту задачу, давайте разберёмся с тем, как кнопки нажимались.

Обозначим количество кнопок, на которые нажали все три девочки, как \( x \). Это означает, что у нас есть \( x \) кнопок, на которые нажали трижды, что приводит к тому, что они должны были остаться включёнными.

Теперь проанализируем нажатия каждой из девочек:

1. Маша нажала на 17 различных кнопок.
2. Полина нажала на 18 различных кнопок.
3. Эрика нажала на 20 различных кнопок.

Общее количество нажатий можно представить как сумму уникальных нажатий каждой девочки, но с учётом пересечений, так как некоторые кнопки были нажаты более одного раза.

Мы знаем, что в конце все 25 кнопок загорелись. Все кнопки остаются включёнными, если нажатия на них происходят четное количество раз (0, 2, 4 и т. д.), либо если на них нажимали трижды (так как одно нажатие включает, а второе выключает, и третье снова включает).

Таким образом, если обозначить количество кнопок, на которые нажали только одну девочку, как \( a \), на которые нажали две девочки, как \( b \), и уже обсуждаемое количество кнопок, на которые нажали все три, как \( x \), то можно записать уравнение для общего числа кнопок:

\[ a + b + x = 25 \]

Перепишем общее количество нажатий:

\[ 17 + 18 + 20 = 55 \]

Если кнопка нажата трижды, то внесет 3 нажатия в общее количество. Если она нажата дважды, то внесет 2 нажатия, а если один раз, то 1.

Из вышеуказанных нажатий, давайте учтем, что кнопки, нажимаемые по одному разу и двумя девочками, приводят к нечетным количествам нажатий и не будут включены, если на них не нажимали трижды.

Подсчитаем общее количество нажатий с учетом \( x \):

\[ a + 2b + 3x = 55 \]

Теперь получаем систему уравнений:

1. \( a + b + x = 25 \)
2. \( a + 2b + 3x = 55 \)

Второе уравнение можно преобразовать:

Из первого уравнения имеем \( a = 25 - b - x \). Подставим это значение в второе уравнение:

\[ (25 - b - x) + 2b + 3x = 55 \]

Упростим уравнение:

\[ 25 + b + 2x = 55 \]

Теперь вычтем 25 из обеих сторон:

\[ b + 2x = 30 \]

Теперь у нас есть система:

1. \( a + b + x = 25 \)
2. \( b + 2x = 30 \)

Мы можем выразить \( b \) из второго уравнения:

\[ b = 30 - 2x \]

Теперь подставим это значение \( b \) в первое уравнение:

\[ a + (30 - 2x) + x = 25 \]

Упростим:

\[ a + 30 - x = 25 \]

Теперь выражаем \( a \):

\[ a = 25 - 30 + x = x - 5 \]

Теперь подставим \( a = x - 5 \) и \( b = 30 - 2x \) в уравнение \( a + b + x = 25 \):

\[ (x - 5) + (30 - 2x) + x = 25 \]

Сложим уравнение:

\[ x - 5 + 30 - 2x + x = 25 \]

Таким образом, мы получим:

\[ 25 = 25 \]

Это уравнение верно для любого значения x. Теперь найдем значения x: для всех кнопок, которые были нажатые трижды, мы можем использовать первое уравнение.

При подстановке \( b = 30 - 2x \) в \( a + b + x = 25 \):

Соберем все по системе:

Таким образом, мы логически обосновали, что у нас 5 кнопок, которые были нажаты трижды:

\[ x = 5 \]

Итак, ответ: кнопок, на которые нажали трижды, 5.