Три волшебницы собрались на берегу озера, в котором обитают 125 кувшинок. По мановению палочки цветок полностью раскрывает лепестки, а при повторном взмахе — полностью закрывает.…
Три волшебницы собрались на берегу озера, в котором обитают 125 кувшинок. По мановению палочки цветок полностью раскрывает лепестки, а при повторном взмахе — полностью закрывает. Изначально все бутоны закрыты. Первая волшебница взмахнула палочкой над 117 различными кувшинками, вторая — над 119, а третья — над 113. В результате все цветы раскрылись. Над сколькими кувшинками взмахнули трижды?
Давайте обозначим количество кувшинок, над которыми взмахнули трижды, как \( x \). Обозначим количество кувшинок, над которыми взмахнули дважды, как \( y \). Количество кувшинок, над которыми взмахнули один раз, обозначим как \( z \), а количество кувшинок, над которыми не взмахнули вообще, как \( w \).
Из условия задачи мы знаем следующее:
Все кувшинки — это 125. \[ x + y + z + w = 125 \]
Первая волшебница взмахнула над 117 кувшинками, вторая — над 119, а третья — над 113. Таким образом, если мы сложим все кувшинки, над которыми взмахнули: \[ 117 + 119 + 113 = 349 \] Каждая кувшинка, над которой взмахнули трижды, дает 3 взмаха, каждая кувшка, над которой взмахнули дважды, дает 2 взмаха, а каждая кувшка, над которой взмахнули один раз, дает 1 взмах. Это можно записать как: \[ 3x + 2y + z = 349 \]
Теперь мы имеем две системы уравнений:
- \( x + y + z + w = 125 \)
- \( 3x + 2y + z = 349 \)
Заметим, что если можно выразить \( w \) через \( x, y, z \) в первом уравнении: \[ w = 125 - x - y - z \]
Так как все цветы раскрыты, результат равен \( 125 \). Теперь возьмем и исключим переменную \( z \) из второго уравнения. Из первого уравнения выразим \( z \): \[ z = 125 - x - y - w \]
Подставим \( z \) во второе уравнение: \[ 3x + 2y + (125 - x - y - w) = 349 \] Упростим уравнение: \[ 3x + 2y + 125 - x - y - w = 349 \] \[ 2x + y - w = 224 \] Теперь у нас есть система: \[ \begin{cases} x + y + z + w = 125 \\ 2x + y - w = 224 \end{cases} \]
Попробуем выразить \( w \) из второго уравнения: \[ w = 2x + y - 224 \]
Подставим \( w \) в первое уравнение: \[ x + y + z + 2x + y - 224 = 125 \] \[ 3x + 2y + z - 224 = 125 \] \[ 3x + 2y + z = 349 \quad (второе уравнение, что совпадет с формулой) \]
Теперь, возвращаясь к задаче, мы видим, что нам нужно найти \( x \). Используем деление для подсчета: Считаем количество цветков, над которыми взмахнули по 3 раза:
Так как вся формула должна быть равна 125: \[ 3n1 + 2n2 + n3 = 349; \] разделим на 2, т.к. третья слишком велика — \( 3x + 2y + z = 349 \) и вычтем общее.
В завершении, найдём \( x = 349 - 2 \cdot (117 + 119 + 113 - x) \) равняется. Мы можем попробовать разные архитектуры, однако нужно просто установить: \[ x + y = 4 по шагам взмахов; w = 5 и x = 12. \] Таким образом, k = 12.
Ответ: над тридцатью кувшинками волшебницы взмахнули трижды.
