Петя записал на доске несколько различных двузначных чисел так, чтобы сумма никаких двух из них не была равна 86. Какое максимальное количество чисел мог написать Петя?
Для решения этой задачи, давайте разберемся с условиями.
Петя записал на доске несколько различных двузначных чисел, и при этом сумма никаких двух из них не должна равняться 86. Поскольку речь идет о двузначных числах, достаточно помнить, что минимальное двузначное число — 10, а максимальное — 99.
Обозначим двузначные числа как \( x_1, x_2, ..., x_n \). Согласно условию, если \( x_i + x_j = 86 \), то это запрещенная комбинация.
Теперь давайте определим возможные пары чисел. Поскольку \( x_i \) и \( x_j \) — двузначные числа, мы можем выразить одно число через другое:
\[ x_j = 86 - x_i \]
Поскольку оба числа должны быть двузначными, мы должны проверить, что \( x_j \) также находится в пределах от 10 до 99. Тогда для того, чтобы \( x_i \) оставалось двузначным:
\( x_i \) должно быть не меньше 10: \[ 86 - x_i \geq 10 \Rightarrow x_i \leq 76 \]
\( x_j \) должно быть не больше 99: \[ x_i + x_j = 86 \Rightarrow x_i \geq 86 - 99 \Rightarrow x_i \geq -13 \] Это условие автоматически выполняется, так как наше \( x_i \) — двузначное число.
Таким образом, \( x_i \) может лежать в диапазоне от 10 до 76. Теперь посмотрим, какие числа мы можем записать:
- Если \( x_i \) целиком включает числа от 10 до 76, количество таких чисел составляет: \[ 76 - 10 + 1 = 67 \]
Однако, из этих 67 чисел каждая пара чисел \( x_i \) и \( x_j \), для которой \( x_j = 86 - x_i \), исключает одно из используемых чисел. Мы имеем пары: (10, 76), (11, 75), (12, 74), ..., (37, 49), (38, 48), и одна "серединка" — число 43, которое при комбинировании образует пару с собой.
С некоторыми числами из этого набора мы не можем записывать оба числа, чтобы не достигать суммы 86.
Поэтому, чтобы максимально увеличить количество записанных чисел, мы можем выбрать числа от 10 до 43, и исключить числа, которые образуют пары выше. Это даст нам 34 числа (от 10 до 43).
Итак, максимальное количество различных двузначных чисел, которые мог записать Петя, составит 34.
