Простое число р таково, что для любых а и в числа 9а + 86 и а + 76 или оба делятся на р, или оба не делятся. Чему может быть равно р? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ…

Рассмотрим условие задачи. Нам дано простое число \( p \) и условия для чисел \( 9a + 86 \) и \( a + 76 \). Это означает, что для любых целых чисел \( a \) и \( b \) оба числа либо делятся на \( p \), либо не делятся на \( p \).

Начнем с анализа делимости. Для начала, вычислим остатки от деления этих чисел на \( p \):

1. Запишем: \[ 9a + 86 \equiv 0 \mod p \] \[ a + 76 \equiv 0 \mod p \]

2. Из второго уравнения мы можем выразить \( a \) через \( p \): \[ a \equiv -76 \mod p \Rightarrow a = kp - 76 \quad \text{для некоторого } k \]

3. Теперь подставим \( a = kp - 76 \) в первое уравнение: \[ 9(kp - 76) + 86 \equiv 0 \mod p \] Упрощая, мы получаем: \[ 9kp - 684 + 86 \equiv 0 \mod p \] \[ 9kp - 598 \equiv 0 \mod p \] Поскольку \( 9kp \equiv 0 \mod p \), то \[ -598 \equiv 0 \mod p \Rightarrow 598 \equiv 0 \mod p \]

Это означает, что \( p \) должно быть делителем числа \( 598 \).

4. Найдем делители числа \( 598 \): Разложим \( 598 \) на простые множители: \[ 598 = 2 \times 299 \] Теперь проверим, является ли \( 299 \) простым числом. Оно не делится ни на одно из простых чисел меньше его квадратного корня (\(\sqrt{299} \approx 17.3\)).

   Проверяем:

   • \( 299 \div 3 \) (не делится);
   • \( 299 \div 5 \) (не делится);
   • \( 299 \div 7 \) (не делится);
   • \( 299 \div 11 \) (не делится);
   • \( 299 \div 13 \) (не делится);
   • \( 299 \div 17 \) (не делится).

   Таким образом, \( 299 \) — простое число.

5. Итоговые делители \( 598 \): \( 1, 2, 299, 598 \).

Мы ищем только простые числа, поэтому подходящие значения для \( p \) будут:

• \( 2 \)
• \( 299 \)

Записываем ответы:

• 2
• 299