Анна и Борис загадали по три различных положительных целых числа и записали их на листочках, которые отдали Володе. Оказалось, что на их листочках ровно одно общее число. Также…

Давайте разберёмся с задачей шаг за шагом.

1. У Анны и Бориса есть по три различных положительных целых числа. Обозначим числа Анны как \(A_1, A_2, A_3\), а числа Бориса как \(B_1, B_2, B_3\).

2. Из условия известно, что у них ровно одно общее число, скажем, это будет \(X\). Тогда можно обозначить числа Анны как \(X, A_2, A_3\) и числа Бориса как \(X, B_2, B_3\).

3. Также сказано, что сумма любых двух разных чисел с листочка Анны является одним из чисел Бориса. Это значит, что:

   • \(A_2 + A_3\) = \(B_i\) для некоторого \(i\) (где \(i = 2\) или \(3\)).
   • Аналогично, \(X + A_2\) и \(X + A_3\) также должны быть равны \(B_2\) или \(B_3\).

4. Анна назвала число, которое в 3 раза меньше, чем одно из чисел Бориса. Борис назвал число 50, следовательно, одно из чисел Бориса — это 50.

5. Если Анна назвала число \(A\), то по условию задачи верно, что \(A \times 3 = 50\), значит \(A = \frac{50}{3}\), но это не целое число.

6. Теперь рассмотрим возможность того, что Анна назвала число, кратное 10 (поскольку 50 это четное число и кратно 10). Попробуем числа, которые в 3 раза меньше, чем 50:

   • Если \(A = 10\), то \(3 \times 10 = 30\);
   • Если \(A = 20\), то \(3 \times 20 = 60\);
   • Если \(A = 30\), то \(3 \times 30 = 90\);
   • Если \(A = 40\), то \(3 \times 40 = 120\).

7. Однако, мы должны помнить, что одно из чисел Анны равняется \(X\), и это число совпадает с числом Бориса.

Таким образом, окончательно, чтобы удовлетворить всем условиям задачи, Анна могла назвать число 10, которое в 3 раза меньше, чем одно из возможных чисел Бориса (например 30). Все условия задачи укладываются в эту логику.

Таким образом, ответ: Анна назвала число 10.