При нажатии на кнопку этажа в лифте 23-этажного дома кнопка загорается, а при повторном нажатии — гаснет. В лифт зашли Вася, Коля и Петя. Вася нажал на 12 различных кнопок, Коля —…
При нажатии на кнопку этажа в лифте 23-этажного дома кнопка загорается, а при повторном нажатии — гаснет. В лифт зашли Вася, Коля и Петя. Вася нажал на 12 различных кнопок, Коля — на 14, Петя — на 19 Изначально ни одна кнопка не горела, а в результате загорелись все. Сколько кнопок было нажато трижды?
Чтобы решить задачу, нам нужно понять, как работает система загорания и гасения кнопок в лифте.
- Когда кнопка нажимается один раз, она загорается.
- При повторном нажатии кнопка гаснет.
- Если на кнопку нажимается третьий раз, она снова загорается.
Обозначим количество кнопок, на которые нажали Вася, Коля и Петя, как \( V \), \( K \), и \( P \) соответственно. Из условия у нас есть:
- Вася нажал на 12 различных кнопок (V = 12).
- Коля нажал на 14 различных кнопок (K = 14).
- Петя нажал на 19 различных кнопок (P = 19).
Всего кнопок в лифте 23, и в конце все кнопки загорелись. Это значит, что для каждой из 23 кнопок, которая загорелась, количество нажатий на нее должно быть нечетным.
Теперь определим общее количество нажатий:
\[ N_{total} = V + K + P = 12 + 14 + 19 = 45. \]
Из этих 45 нажатий, некоторые кнопки были нажаты трижды, и их нужно обозначить как \( X \) (количество кнопок, на которые нажали трижды).
Мы знаем, что каждая из 23 кнопок загорелась, значит, количество нажатий на каждую кнопку должно быть равно 1, 3, 5 и т.п. Более того, на каждую из тех кнопок, которые нажимались один или два раза, у нас будет их результат гаснуть, а значит, такие кнопки не учитываются в конце.
Пусть \( Y \) – это количество кнопок, на которые нажали два раза. Тогда математически мы можем записать:
\[ N_{total} = X \cdot 3 + Y \cdot 2, \]
где \( 23 = X + Y + Z \) – количество кнопок, где \( Z \) – это кнопки, на которые не нажали вовсе.
С 45 нажатиями у нас:
\[ 45 = 3X + 2Y. \]
Мы можем выразить \( Y \):
Чтобы решить систему уравнений, можно подставить разные значения \( X \) и проверить, когда получится 23 уникальные кнопки.
При решении уравнений, легко заметить, что при \( X = 9 \) и \( Y = 3 \) получится:
- 9 кнопок было нажато трижды: \( 3 \cdot 9 = 27 \).
- 3 кнопки были нажаты дважды: \( 2 \cdot 3 = 6 \).
- В итоге: \( 27 + 6 = 33 \) нажатий.
Для уточнения, можно подставить значение \( X = 10 \) и разложить по компонентам:
Следовательно, мы можем найти, что:
Количество кнопок, на которые нажали трижды, равно 9.
