1)решить уравнение sin3x*cos4x=1 2) укажите корни этого уравнения принадлежащие промежутку (-pi/2; 7pi/2]
Чтобы решить уравнение \( \sin(3x) \cos(4x) = 1 \), начнем с рассмотрения возможных значений для произведения \(\sin(3x)\) и \(\cos(4x)\).
- Максимальные значения функций:
- \(\sin(3x)\) принимает максимальное значение 1, когда \(3x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\) для целых \(k\).
- \(\cos(4x)\) принимает максимальное значение 1, когда \(4x = 2m\pi\) для целых \(m\).
Для произведения \(\sin(3x)\cos(4x)\) равного 1, обе функции должны принимать свое максимальное значение одновременно. То есть: \[ \sin(3x) = 1 \quad \text{и} \quad \cos(4x) = 1 \]
Найдём решения для \(\sin(3x) = 1\): \[ 3x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3} \]
Найдём решения для \(\cos(4x) = 1\): \[ 4x = 2m\pi \quad \Rightarrow \quad x = \frac{m\pi}{2} \]
Теперь нужно найти общие решения в промежутке \((- \frac{\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}]\).
Для \(x = \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3}\):
- При \(k = 0: x = \frac{\pi}{6} \approx 0.524\)
- При \(k = 1: x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} \approx 2.618\)
- При \(k = 2: x = \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} = \frac{11\pi}{6} \approx 5.759\)
- При \(k = 3: x = \frac{\pi}{6} + \frac{6\pi}{3} = \frac{17\pi}{6} \approx 8.901\) (это больше \(\frac{7\pi}{2}\))
Таким образом, решения \(x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}\).
Для \(x = \frac{m\pi}{2}\):
- При \(m = 0: x = 0\)
- При \(m = 1: x = \frac{\pi}{2} \approx 1.571\)
- При \(m = 2: x = \pi \approx 3.142\)
- При \(m = 3: x = \frac{3\pi}{2} \approx 4.712\)
- При \(m = 4: x = 2\pi \approx 6.283\)
Теперь соберем все уникальные корни в заданном промежутке:
- \(0\)
- \(\frac{\pi}{6}\)
- \(\frac{\pi}{2}\)
- \(\frac{5\pi}{6}\)
- \(\pi\)
- \(\frac{3\pi}{2}\)
- \(\frac{11\pi}{6}\)
- \(2\pi\)
Таким образом, корни уравнения в промежутке \((- \frac{\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}]\): \[ \{0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \pi, \frac{3\pi}{2}, \frac{11\pi}{6}, 2\pi\} \]
