При нажатии на кнопку этажа в лифте 23-этажного дома загорается,а при повторном нажатии - гаснет. В лифт зашли Вася, Коля и Петя. Вася нажал на 12 различных кнопок,Коля - на 14,Петя - на 19. Изначально ни одна кнопка не горела,а в результате загорелись все. Сколько кнопок было начато трижды?

Давайте рассмотрим ситуацию шаг за шагом. В лифте 23 этажа, и каждый из них имеет кнопку. Когда кто-то нажимает на кнопку этажа, она загорается, а при повторном нажатии – гаснет.

Васе удалось нажать на 12 кнопок, Коле на 14, а Пете на 19 кнопок. Нужно выяснить, сколько кнопок было нажато трижды, если в итоге загорелись все кнопки.

Обозначим количество раз, когда:

• кнопка была нажата 0 раз — это количество кнопок, которые остались выключенными,
• 1 раз — кнопки, которые остались включенными после одного нажатия,
• 2 раза — кнопки, которые были нажаты и погасли,
• 3 раза — кнопки, которые остались включенными после тройного нажатия.

Допустим, что:

• \( x_0 \) — количество кнопок, которые не были нажаты,
• \( x_1 \) — количество кнопок, которые были нажаты 1 раз,
• \( x_2 \) — количество кнопок, которые были нажаты 2 раза,
• \( x_3 \) — количество кнопок, которые были нажаты 3 раза.

Согласно условию:

• Все 23 кнопки включены в конце, значит, \( x_1 + x_3 = 23 \) (включенные кнопки).
• Также известно, что Васей, Колей и Петей было нажато в сумме \( 12 + 14 + 19 = 45 \) раз.

Теперь, учитывая, что каждое нажатие кнопки будет учтено: \[ x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 45 \]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( x_1 + x_3 = 23 \)
2. \( x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 45 \)

От первого уравнения выразим \( x_1 \): \[ x_1 = 23 - x_3 \]

Подставим это значение во второе уравнение: \[ (23 - x_3) + 2x_2 + 3x_3 = 45 \] \[ 23 + 2x_2 + 2x_3 = 45 \] \[ 2x_2 + 2x_3 = 22 \] \[ x_2 + x_3 = 11 \]

Теперь у нас две переменные:

1. \( x_1 + x_3 = 23 \)
2. \( x_2 + x_3 = 11 \)

Из второго уравнения выразим \( x_2 \): \[ x_2 = 11 - x_3 \]

Теперь заменим это значение в первом уравнении: Подставляем в \( x_1 + x_3 = 23 \): \[ x_1 + x_3 = 23 \] \[ x_1 + (11 - x_2) = 23 \]

Решая систему, получим: Из \( x_2 + x_3 = 11 \) и \( x_1 + x_3 = 23 \), мы можем найти, сколько кнопок было нажато трижды.

Если подставить \( x_3 \) в \( x_2 + x_3 = 11 \): Рассмотрим, сколько кнопок было нажато трижды, когда \( x_3 = n \): то \( x_1 = 23-n \) и \( 2(11 - n) + 3n = 45 \).

Таким образом, подставив и решив уравнение, мы найдем \( n \) - это количество кнопок, которые были нажаты трижды.

Решив задачи, получаем, что количество кнопок, которые были нажаты трижды, равно 8.

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять задачу!