X²<3x

Чтобы решить неравенство \(x^2 < 3x\), начнем с того, что перенесем все элементы в одну сторону:

\[x^2 - 3x < 0.\]

Теперь мы можем факторизовать левую часть неравенства:

\[x(x - 3) < 0.\]

Следующий шаг — найти корни уравнения \(x(x - 3) = 0\). У нас есть два корня: \(x = 0\) и \(x = 3\). Теперь нам нужно проанализировать знаки на интервалах, которые эти корни определяют. Мы рассматриваем следующие интервалы:

1. \( (-\infty, 0) \)
2. \( (0, 3) \)
3. \( (3, +\infty) \)

Теперь проверим знак выражения \(x(x - 3)\) в каждом из этих интервалов:

1. Для интервала \( (-\infty, 0) \) (например, \(x = -1\)): \[(-1)(-1 - 3) = (-1)(-4) = 4 > 0.\]

2. Для интервала \( (0, 3) \) (например, \(x = 1\)): \[(1)(1 - 3) = (1)(-2) = -2 < 0.\]

3. Для интервала \( (3, +\infty) \) (например, \(x = 4\)): \[(4)(4 - 3) = (4)(1) = 4 > 0.\]

Теперь мы видим, что \(x(x - 3) < 0\) только на интервале \((0, 3)\).

Таким образом, ответ на неравенство \(x^2 < 3x\) будет:

\[0 < x < 3.\]

Это значит, что все значения \(x\) в этом интервале удовлетворяют данному неравенству.