Даша нарисовала прямоугольник с целыми сторонами. Катя нарисовала свой прямоугольник, уменьшив длину Дашиного на 1 и увеличив ширину на З. Таня тоже нарисовала свой прямоугольник, уменьшив длину Дашиного на З и увеличив ширину на 6. Оказалось, что площади прямоугольников Кати и Тани равны. Выберите все возможные значения периметра прямоугольника Даши:

Давайте разберем задачу шаг за шагом. Пусть длина и ширина прямоугольника Даши будут равны \(a\) и \(b\) соответственно. Тогда площадь прямоугольника Даши можно выразить как:

\[ S_D = a \cdot b \]

Теперь проанализируем фигуры, нарисованные Катей и Таней.

Катя уменьшила длину Дашиного прямоугольника на 1 и увеличила ширину на 3. Таким образом, у Кати длина и ширина будут равны:

\[ a - 1 \quad \text{и} \quad b + 3 \]

Площадь прямоугольника Кати:

\[ S_K = (a - 1)(b + 3) = ab + 3a - b - 3 \]

Теперь посмотрим на прямоугольник Тани. Она уменьшила длину Дашиного на 3 и увеличила ширину на 6, следовательно, длина и ширина Тани будут равны:

\[ a - 3 \quad \text{и} \quad b + 6 \]

Площадь прямоугольника Тани:

\[ S_T = (a - 3)(b + 6) = ab + 6a - 3b - 18 \]

Согласно условию задачи, площади прямоугольников Кати и Тани равны:

\[ ab + 3a - b - 3 = ab + 6a - 3b - 18 \]

Теперь сокращаем \(ab\) с обеих сторон:

\[ 3a - b - 3 = 6a - 3b - 18 \]

Перепишем уравнение:

\[ 3a - b - 3 - 6a + 3b + 18 = 0 \]

Упростим его:

\[ -3a + 2b + 15 = 0 \]

Или:

\[ 3a = 2b + 15 \quad \Rightarrow \quad b = \frac{3a - 15}{2} \]

Теперь нужно, чтобы \(b\) было целым, значит \(3a - 15\) должно быть четным числом, а также \(3a - 15 \geq 0\), что дает:

\[ 3a \geq 15 \quad \Rightarrow \quad a \geq 5 \]

Поскольку \(b\) должно быть целым, \(3a - 15\) должно делиться на 2. Проанализируем возможные значения \(a\):

• Если \(a = 5\), тогда \(b = \frac{3 \cdot 5 - 15}{2} = 0\) (не подходит, т.к. стороны положительные).
• Если \(a = 6\), тогда \(b = \frac{3 \cdot 6 - 15}{2} = 0.5\) (не подходит).
• Если \(a = 7\), тогда \(b = \frac{3 \cdot 7 - 15}{2} = 1.5\) (не подходит).
• Если \(a = 8\), тогда \(b = \frac{3 \cdot 8 - 15}{2} = 3\) (подходит).
• Если \(a = 9\), тогда \(b = \frac{3 \cdot 9 - 15}{2} = 4.5\) (не подходит).
• Если \(a = 10\), тогда \(b = \frac{3 \cdot 10 - 15}{2} = 7.5\) (не подходит).
• Если \(a = 11\), тогда \(b = \frac{3 \cdot 11 - 15}{2} = 8.5\) (не подходит).
• Если \(a = 12\), тогда \(b = \frac{3 \cdot 12 - 15}{2} = 10.5\) (не подходит).
• Если \(a = 13\), тогда \(b = \frac{3 \cdot 13 - 15}{2} = 11.5\) (не подходит).
• Если \(a = 14\), тогда \(b = \frac{3 \cdot 14 - 15}{2} = 14\) (подходит).

Перифетры прямоугольника Даши можно вычислить по формуле:

\[ P = 2(a + b) \]

Теперь подставим подходящие значения \(a\) и \(b\):

1. Для \(a = 8\), \(b = 3\):

\[ P = 2(8 + 3) = 2 \cdot 11 = 22 \]

2. Для \(a = 14\), \(b = 14\):

\[ P = 2(14 + 14) = 2 \cdot 28 = 56 \]

Таким образом, все возможные значения периметра прямоугольника Даши:

\[ 22 \quad \text{и} \quad 56 \]