При нажатии на кнопку этажа в лифте 23-этпжного дома кнопка загорается,а при повторном нажатии-гаснет.В лифт зашли Вася,Коля и Петя.Впчя нажал на 12 различных кнопок,Коля-нк 14,Петя -на 19.Изначальнл ни одна кнопка не горела,а в результате загорелись все.Сколько кнопок были нажаты трижды

Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим, что происходит при каждом нажатии на кнопку.

1. Каждое нажатие кнопки переключает ее состояние: если она была выключена, то включается (загорается), а если была включена, то выключается (гаснет).
2. Изначально все кнопки не горят. В результате нажатий всех троих (Васи, Коли и Пети) все кнопки должны загореться.

Обозначим количество нажимаемых кнопок:

• Вася нажал 12 кнопок,
• Коля нажал 14 кнопок,
• Петя нажал 19 кнопок.

Обозначим количество различных кнопок, которых всего 23. Пусть \( x \) — это количество кнопок, которые были нажаты трижды.

Теперь, если обозначить количество кнопок, которые нажаты один раз (обозначим это \( a \)), и количество кнопок, которые нажаты дважды (обозначим это \( b \)), мы можем составить два уравнения:

• Общее количество нажатий: \[ a + 2b + 3x = 12 + 14 + 19 = 45 \]

• Общее количество кнопок: \[ a + b + x = 23 \]

Теперь мы имеем систему уравнений:

1. \( a + 2b + 3x = 45 \)
2. \( a + b + x = 23 \)

Из второго уравнения можно выразить \( a \): \[ a = 23 - b - x \]

Подставим это значение в первое уравнение: \[ (23 - b - x) + 2b + 3x = 45 \] Упростим: \[ 23 + b + 2x = 45 \] \[ b + 2x = 22 \]

Теперь у нас есть два уравнения:

1. \( b + 2x = 22 \)
2. \( a + b + x = 23 \)

Теперь нужно выразить \( b \) через \( x \): \[ b = 22 - 2x \]

Подставим \( b \) в уравнение \( a + b + x = 23 \): \[ a + (22 - 2x) + x = 23 \] Упростим: \[ a + 22 - x = 23 \] \[ a - x = 1 \quad \Rightarrow \quad a = x + 1 \]

Теперь у нас есть выражения для \( a \) и \( b \):

• \( b = 22 - 2x \)
• \( a = x + 1 \)

Подставим \( a \) и \( b \) в уравнение \( a + b + x = 23 \): \[ (x + 1) + (22 - 2x) + x = 23 \] Упростим: \[ 1 + 22 = 23 \]

Таким образом, все уравнения согласованы. Теперь подставим \( b = 22 - 2x \) в \( a + b + x = 23 \) и мы видим, что все согласуется.

Итак, теперь найдем \( x \). Согласно тому, что все кнопки загорелись, должно выполняться: \[ x + (22 - 2x) + x = 23 \] Отсюда \( 22 - 3x = 0 \), что дает: \[ x = \frac{22}{3} \approx 7.33 \]

Так как \( x \) должно быть целым числом, мы можем пробовать разные значения для \( x \) ближе к 7 или 8:

1. Проверим \( x = 7 \):
   • \( b = 22 - 2 \times 7 = 8 \)
   • \( a = 7 + 1 = 8 \)

В итоге:

• 8 кнопок нажатий один раз,
• 8 кнопок нажатий дважды,
• 7 кнопок нажатий трижды.

Это согласуется с тем, что всего 23 кнопки. Значит, количество кнопок, которые были нажаты трижды, равно 7.