При нажатии на кнопку этажа в лифте 23- этажного дома кнопка загорается, а при повторном нажатии - гаснет. В лифт зашли Вася, Коля и Петя. Вася нажал на 12 различных кнопок, Коля…

Давайте разберемся с этой задачей, используя основные принципы логики и работы с числами.

У нас есть лифт с 23 кнопками, и три человека нажимают кнопки. Мы знаем, что:

• Вася нажал 12 различных кнопок.
• Коля нажал 14 различных кнопок.
• Петя нажал 19 различных кнопок.
• Все кнопки в итоге загорелись.

Обозначим количество кнопок, на которые нажали все трое, как \( x \). Также обозначим количество кнопок, на которые нажали только Вася и Коля, как \( y \), Вася и Петя как \( z \), Коля и Петя как \( w \), и кнопки, на которые нажал только один из них как \( a \), \( b \), и \( c \).

Запишем уравнения на основе количества нажатий:

1. \( x + y + z + w + a + b + c = 23 \) (все кнопки)
2. \( x + y + z + a = 12 \) (нажатия Васи)
3. \( x + y + w + b = 14 \) (нажатия Колі)
4. \( x + z + w + c = 19 \) (нажатия Пети)

Мы знаем, что каждая кнопка, на которую нажали, должна в конечном итоге загореться, что значит, что четное количество нажатий для каждой кнопки вернет её в исходное состояние (выключенной), а нечетное - оставит включенной. Поскольку все кнопки зажглись, значит, все они были нажаты нечетное количество раз.

Теперь давайте определим общее число нажатий. Сложим все нажатия:

• Всего нажатий = Нажатия Васи + Нажатия Коли + Нажатия Пети = \( 12 + 14 + 19 = 45 \).

Каждая из кнопок, которые были нажаты хотя бы раз, должна была быть нажата хотя бы один раз. Если \( x \) - это кнопки, на которые нажали все трое, то эти кнопки были нажаты 3 раза. А остальные были нажаты от 1 до 2 раз, так как после каждой партии нажатий по одной кнопке она включалась в конце.

Согласно свойству, что все кнопки загорелись, и учитывая, что общее количество нажатий 45 должно быть равно нечетному количеству раз нажатий включенных кнопок, мы можем сделать вывод:

• Пусть \( y + z + w \) - это кнопки, которые были нажаты дважды. Это дает нам 2 раза нажатий для \( y + z + w \).
• Остальные кнопки были нажаты один раз.

Итак, мы видим, что \( total\_pressed = 3x + 2(y + z + w) + (count\_of\_one\_press) = 45 \).

Подсказывая ответ на вопрос о том, сколько кнопок были нажаты трижды:

Разработав систему уравнений, мы можем сказать, что \( x \) – это количество кнопок, на которые нажали все трое, следовательно, \( x = 5 \).

Итак, ответ: 5 кнопок были нажаты трижды.