Простое число р таково что для любых а и b числа 11а+5b и a+4b или оба делятся на р, или оба не делятся. Чему может быть равно р?
Рассмотрим данное утверждение. Пусть \( p \) - простое число, и нам известно, что для любых целых чисел \( a \) и \( b \) выражения \( 11a + 5b \) и \( a + 4b \) либо оба делятся на \( p \), либо оба не делятся на \( p \).
Это условие можно сформулировать как: если делимость одного из выражений на \( p \) истинна, то и другого также. Рассмотрим случаи делимости:
Если \( a \equiv 0 \mod p \) и \( b \equiv 0 \mod p \):
- В этом случае оба выражения делятся на \( p \).
Если \( a \equiv 1 \mod p \) и \( b \equiv 0 \mod p \):
- Тогда \( 11a + 5b \equiv 11 \cdot 1 + 5 \cdot 0 \equiv 11 \mod p \)
- И \( a + 4b \equiv 1 + 4 \cdot 0 \equiv 1 \mod p \)
- Очевидно, что одно выражение делится на \( p \), а другое - нет, если \( p \) не делит ни 1, ни 11.
Теперь, чтобы оба выражения были либо делимы на \( p \), либо не делимы, необходимо, чтобы 11 и 1 имели одинаковую делимость на \( p \). Это означает, что \( p \) должен делить разность этих количеств.
Рассмотрим разность \( 11 - 1 = 10 \). Таким образом, \( p \) должен делить 10. Простые делители числа 10 - это 2 и 5.
Чтобы проверить, подходят ли они, подставим:
Для \( p = 2 \):
- \( 11a + 5b \equiv a + b \mod 2 \)
- \( a + 4b \equiv a + 0 \mod 2 \)
- Оба выражения либо четные, либо нечетные, значит, выполняется условие.
Для \( p = 5 \):
- \( 11a + 5b \equiv a \mod 5 \)
- \( a + 4b \equiv a + 4b \mod 5 \)
- Тут также можно подобрать \( a \) и \( b \), чтобы соответствовать условию.
Таким образом, подходящими значениями для простого числа \( p \) являются 2 и 5.
