Сколько существует трёхзначных чисел делящихся только на два из чисел 2, 5, 7 и не делящихся на третье из этих чисел

Чтобы найти количество трёхзначных чисел, делящихся только на два из чисел 2, 5, 7, и не делящихся на третье из этих чисел, необходимо рассмотреть все возможные комбинации. **1. Определим диапазон трехзначных чисел:** Трёхзначные числа варьируются от 100 до 999. **2. Рассмотрим возможные комбинации делимости:** - **Комбинация (2, 5):** Число должно делиться на 2 и 5, но не делиться на 7. - **Комбинация (2, 7):** Число должно делиться на 2 и 7, но не делиться на 5. - **Комбинация (5, 7):** Число должно делиться на 5 и 7, но не делиться на 2. Теперь посчитаем каждую из комбинаций. ### Комбинация (2, 5) Для чисел, делящихся на 2 и 5, это означает, что они должны делиться на 10. Трёхзначные числа, делящиеся на 10, начинаются с 100 и заканчиваются на 990. Мы можем найти количество таких чисел: Первое число: 100. Последнее число: 990. Шаг: 10. Числа: 100, 110, 120, ..., 990. Чтобы посчитать их количество, используем формулу для нахождения количества членов арифметической прогрессии: \[ n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1 = \frac{990 - 100}{10} + 1 = 891 / 10 + 1 = 90 + 1 = 91. \] Теперь вычтем те, которые делятся на 7. Первое число делящееся на 70 будет 105, последнее — 980. Определим количество чисел, делящихся на 70 в пределах 100 - 999: Первые числа: 105, 175, 245, ..., 980. Это также арифметическая прогрессия: \[ n = \frac{980 - 105}{70} + 1 = 875/70 + 1 = 12.5 + 1 \approx 13. \] Следовательно, количество трёхзначных чисел, делящихся на 10, но не на 7: \[ 91 - 12 = 79. \] ### Комбинация (2, 7) Теперь числа, делящиеся на 2 и 7, должны делиться на 14. Первые: 98 (100 не подходит, потому что меньше 100). Последние: 994. Используем ту же формулу: \[ n = \frac{994 - 100}{14} + 1 = 894/14 + 1 \approx 63.5 + 1 \approx 64. \] Теперь мы можем вычесть числа, делящиеся на 5 (т.е., делящиеся на 70). Мы уже подсчитали их выше, это также 12. Таким образом, количество чисел, делящихся на 14, но не на 5: \[ 64 - 12 = 52. \] ### Комбинация (5, 7) Числа делятся на 5 и 7, значит, делятся на 35. Начинаем с 105 и заканчиваем на 980. \[ n = \frac{980 - 105}{35} + 1 \approx 25 + 1 = 26. \] Теперь ищем числа, делящиеся на 2 (это числа, делящиеся на 70), их тоже было 12. Таким образом, количество чисел, делящихся на 35, но не на 2: \[ 26 - 12 = 14. \] ### Итоговое количество: Складываем все, что мы подсчитали: - Комбинация (2, 5): 79 - Комбинация (2, 7): 52 - Комбинация (5, 7): 14 Общий результат: \[ 79 + 52 + 14 = 145. \] Итак, существует 145 трёхзначных чисел, делящихся только на два из чисел 2, 5, 7 и не делящихся на третье.