На балу не более 25 человек. они танцуют в парах(один мужчина и одна женщина). в настоящий момент танцуют 2/3 всех мужчин и 1/5 всех женщин. сколько людей присутствует на балу

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Обозначим количество мужчин за \(M\), а количество женщин за \(W\). Из условия мы знаем, что на балу не более 25 человек, то есть:

\[ M + W \leq 25 \]

Согласно условию, в данный момент танцуют \( \frac{2}{3} \) всех мужчин, что можно выразить как \( \frac{2}{3}M \), и \( \frac{1}{5} \) всех женщин, что выражается как \( \frac{1}{5}W \).

Так как танцы происходят в парах (один мужчина и одна женщина), то количество пар, что танцуют, должно быть одинаковым:

\[ \frac{2}{3}M = \frac{1}{5}W \]

Теперь мы можем выразить \(W\) через \(M\):

Умножим обе части уравнения на 15 (для устранения дробей):

\[ 15 \cdot \frac{2}{3}M = 15 \cdot \frac{1}{5}W \]

Это упрощается до:

\[ 10M = 3W \]

Теперь выразим \(W\):

\[ W = \frac{10}{3}M \]

Теперь у нас есть выражение для \(W\). Подставим его в неравенство:

\[ M + \frac{10}{3}M \leq 25 \]

Объединим \(M\):

\[ \frac{3}{3}M + \frac{10}{3}M \leq 25 \]

\[ \frac{13}{3}M \leq 25 \]

Умножив обе стороны на 3, получим:

\[ 13M \leq 75 \]

Теперь делим обе стороны на 13:

\[ M \leq \frac{75}{13} \approx 5.77 \]

Так как количество мужчин должно быть целым, то максимальное целое значение для \(M\) будет 5.

Теперь подставим \(M = 5\) в уравнение для \(W\):

\[ W = \frac{10}{3} \cdot 5 = \frac{50}{3} \approx 16.67 \]

Это тоже не может быть целым числом, поэтому давайте попробуем уменьшить число мужчин до 4:

\[ W = \frac{10}{3} \cdot 4 = \frac{40}{3} \approx 13.33 \]

Проверим число мужчин 3:

\[ W = \frac{10}{3} \cdot 3 = 10 \]

Теперь у нас 3 мужчины и 10 женщин:

\[ 3 + 10 = 13 \]

Это значение меньше 25, и мы получаем:

• Мужчины: 3, танцующие: \( \frac{2}{3} \cdot 3 = 2 \)
• Женщины: 10, танцующие: \( \frac{1}{5} \cdot 10 = 2 \)

Количество танцующих пар соответствует условию. Давайте теперь проверим с 5 мужчинами:

\[ W = \frac{10}{3} \cdot 5 = \frac{50}{3} \]

Это не подходит, так как у нас меньше 25. Поэтому 13 — это максимальное количество участников.

В итоге, количество людей на балу составляет 13 человек.