Площадь прямоугольника 480м², а его диагональ равна 34м. Чему равен периметр прямоугольника?

Чтобы найти периметр прямоугольника, нам нужно вначале определить его стороны. Мы знаем, что площадь прямоугольника равна 480 м² и его диагональ равна 34 м.

Обозначим стороны прямоугольника как \( a \) и \( b \).

Согласно формуле площади, мы можем записать: \[ a \times b = 480 \]

Также у нас есть диагональ, которая может быть найдена по теореме Пифагора: \[ a^2 + b^2 = d^2 \] где \( d \) — диагональ. В нашем случае \( d = 34 \): \[ a^2 + b^2 = 34^2 = 1156 \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( a \times b = 480 \)
2. \( a^2 + b^2 = 1156 \)

Из первого уравнения выразим \( b \): \[ b = \frac{480}{a} \]

Подставим это выражение во второе уравнение: \[ a^2 + \left(\frac{480}{a}\right)^2 = 1156 \]

Упростим это уравнение: \[ a^2 + \frac{230400}{a^2} = 1156 \]

Умножим оба sides на \( a^2 \) для устранения дроби: \[ a^4 - 1156a^2 + 230400 = 0 \]

Теперь обозначим \( x = a^2 \), тогда у нас получится квадратное уравнение: \[ x^2 - 1156x + 230400 = 0 \]

Решим это уравнение с помощью формулы квадратного корня: Дискриминант: \[ D = 1156^2 - 4 \times 1 \times 230400 \] \[ D = 1336336 - 921600 = 414736 \]

Теперь найдем корни: \[ x = \frac{1156 \pm \sqrt{414736}}{2} \] \[ \sqrt{414736} = 644 \] \[ x_1 = \frac{1156 + 644}{2} = 900, \quad x_2 = \frac{1156 - 644}{2} = 256 \]

Таким образом, \( a^2 = 900 \) или \( a^2 = 256 \). Находим \( a \) и \( b \):

1. Если \( a^2 = 900 \), тогда \( a = 30, \ b = \frac{480}{30} = 16 \).
2. Если \( a^2 = 256 \), тогда \( a = 16, \ b = \frac{480}{16} = 30 \).

Теперь мы можем найти периметр: \[ P = 2(a + b) = 2(30 + 16) = 2 \times 46 = 92 \, \text{м} \]

Таким образом, периметр прямоугольника равен 92 метра.