найти производные следующих функций: f) y=ln cos^2 x g) y= arcctg (e^x) h) y= 8^lnx
Для нахождения производных данных функций давайте разберём каждую из них по порядку.
f) \( y = \ln(\cos^2 x) \)
Для нахождения производной этой функции применим правило производной логарифма и цепное правило.
Используем свойство логарифмов: \[ \ln(\cos^2 x) = 2 \ln(\cos x). \]
Теперь найдём производную: \[ y' = 2 \cdot \frac{d}{dx}(\ln(\cos x)). \]
Используя правило производной логарифма: \[ \frac{d}{dx}(\ln(\cos x)) = \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\frac{\sin x}{\cos x} = -\tan x. \]
В итоге, произведём вычисление: \[ y' = 2(-\tan x) = -2\tan x. \]
Таким образом, производная функции \( f) \) равна: \[ y' = -2\tan x. \]
g) \( y = \text{arcctg}(e^x) \)
Для нахождения производной функции, содержащей арккотангенс, применяем цепное правило:
Напомним, что производная арккотангенса: \[ \frac{d}{dx}(\text{arcctg}(u)) = -\frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{dx}, \] где \( u = e^x \).
Найдём производную \( u \): \[ \frac{du}{dx} = e^x. \]
Теперь подставляем в формулу: \[ y' = -\frac{1}{1 + (e^x)^2} \cdot e^x = -\frac{e^x}{1 + e^{2x}}. \]
Итак, производная функции \( g) \) равна: \[ y' = -\frac{e^x}{1 + e^{2x}}. \]
h) \( y = 8^{\ln x} \)
Для нахождения производной этой функции воспользуемся свойством степенной функции и логарифмом.
Перепишем функцию: \[ y = e^{\ln(8^{\ln x})} = e^{\ln x \cdot \ln 8}. \]
Теперь используем цепное правило для нахождения производной: \[ y' = e^{\ln(8^{\ln x})} \cdot \frac{d}{dx}(\ln(8^{\ln x})). \]
Нахождение производной \( \frac{d}{dx}(\ln(8^{\ln x})) \): \[ \frac{d}{dx}(\ln(8^{\ln x})) = \frac{d}{dx}(\ln x \cdot \ln 8) = \frac{\ln 8}{x}. \]
Теперь подставим обратно: \[ y' = 8^{\ln x} \cdot \frac{\ln 8}{x}. \]
Таким образом, производная функции \( h) \) равна: \[ y' = 8^{\ln x} \cdot \frac{\ln 8}{x}. \]
Теперь у вас есть производные для всех трёх функций! Если у вас возникли дополнительные вопросы или нужна помощь с другим материалом, не стесняйтесь спрашивать!
