Известно что 5x - 1/x=4, найдите значение 25x² + 1/x²

Давайте решим уравнение \( 5x - \frac{1}{x} = 4 \) и найдем значение выражения \( 25x^2 + \frac{1}{x^2} \).

1. Сначала выразим \( \frac{1}{x} \) из первого уравнения: \[ 5x - 4 = \frac{1}{x} \] Умножим обе стороны на \( x \) (предполагая, что \( x \neq 0 \)): \[ 5x^2 - 4x - 1 = 0 \]

2. Теперь можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 5 \), \( b = -4 \) и \( c = -1 \).

   Подставим значения: \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1)}}{2 \cdot 5} \] \[ = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{10} \] \[ = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{10} \] \[ = \frac{4 \pm 6}{10} \]

   Это дает два решения:

   1. \( x = \frac{10}{10} = 1 \)
   2. \( x = \frac{-2}{10} = -0.2 \)

3. Теперь найдем \( 25x^2 + \frac{1}{x^2} \). Для этого сначала найдём \( x^2 \):

   • Если \( x = 1 \): \[ x^2 = 1^2 = 1 \] \[ \text{А значит, } \frac{1}{x^2} = \frac{1}{1^2} = 1 \] Тогда: \[ 25x^2 + \frac{1}{x^2} = 25 \cdot 1 + 1 = 25 + 1 = 26 \]

   • Если \( x = -0.2 \): \[ x^2 = (-0.2)^2 = 0.04 \] \[ \text{И } \frac{1}{x^2} = \frac{1}{0.04} = 25 \] Тогда: \[ 25x^2 + \frac{1}{x^2} = 25 \cdot 0.04 + 25 = 1 + 25 = 26 \]

Таким образом, в обоих случаях значение \( 25x^2 + \frac{1}{x^2} = 26 \).

Ответ: \( 26 \).