При нажатии на кнопку этажа в лифте 23 этажного дома кнопка загорается, а при повторном нажатии гаснет. В лифт зашли Вася, Коля и Петя. Вася нажал на 12 различных кнопок, Коля на 14, Петя на 19. Изначально ни одна кнопка не горела, а в результате загорелись все. Сколько кнопок было нажато трижды?

Для решения этой задачи удобно воспользоваться методом счёта и логикой. Давайте проанализируем ситуацию.

1. Количество этажей: В доме 23 этажа, значит всего имеется 23 кнопки.

2. Количество кнопок:

   • Вася нажал 12 кнопок.
   • Коля нажал 14 кнопок.
   • Петя нажал 19 кнопок.

3. Состояние кнопок: Изначально все кнопки не горели. В итоге все кнопки должны загореться. Это возможно только если число нажатий на каждую кнопку является нечетным (первое нажатие включает кнопку, второе - выключает, третье - снова включает и так далее).

4. Обозначения:

   • Пусть \( x \) — количество кнопок, которые были нажаты каждым из трёх (один раз).
   • Пусть \( y \) — количество кнопок, которые были нажаты дважды (сначала включены, затем выключены).
   • Пусть \( z \) — количество кнопок, которые были нажаты все три (т.е. трижды).

5. Система уравнений:

   • Мы знаем, что 12 + 14 + 19 = 45 - это общее количество нажатий.
   • Также мы знаем, что:
     • Количество различных кнопок, нажатых хотя бы раз: \[ x + y + z = 23 \]
     • Общее количество нажатий можно выразить как: \[ x + 2y + 3z = 45 \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( x + y + z = 23 \)

2. \( x + 2y + 3z = 45 \)

3. Вычтение: Выразим \( y \) и \( z \) из первого уравнения: \[ y = 23 - x - z \] Подставим \( y \) во второе уравнение: \[ x + 2(23 - x - z) + 3z = 45 \] Это упростится до: \[ x + 46 - 2x - 2z + 3z = 45 \implies -x + z = -1 \implies z = x - 1 \]

4. Подставим значение \( z \) в первое уравнение: \[ x + (23 - x - (x - 1)) + (x - 1) = 23 \] После упрощения мы получаем: \[ x + 23 - x - x + 1 + x - 1 = 23 \] Здесь всё сокращается, и мы остаёмся с \( 23 = 23 \), что соответствует истинности нашего равенства.

5. Далее решаем: Теперь можем использовать значения, и подставив всё обратно, найдем, как количество нажатий распределяется. Пусть \( n \) - это количество кнопок, нажимаемых всем троим, то, подставляя z в уравнение: \[ n + 1 + (23 - 2n) = 23 \implies 1 + 23 - n = 23 \implies 1 = n \implies n = 1. \]

Таким образом, количество кнопок, нажимаемых трижды, равно 1.

Ответ: 1 кнопка была нажата трижды.