4х²-12х+9 больше 0
Чтобы решить неравенство \( 4x^2 - 12x + 9 > 0 \), начнем с нахождения корней соответствующего уравнения \( 4x^2 - 12x + 9 = 0 \).
Для этого можно использовать дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac, \]
где \( a = 4 \), \( b = -12 \), \( c = 9 \).
Подставим значения:
\[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0. \]
Дискриминант равен нулю, что означает, что уравнение имеет один корень:
\[ x = \frac{-b}{2a} = \frac{12}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}. \]
Корень \( x = \frac{3}{2} \) является единственным корнем квадратного уравнения. Теперь мы знаем, что парабола, описываемая нашим неравенством, касается оси абсцисс в этой точке.
Следовательно, мы можем исследовать знак выражения \( 4x^2 - 12x + 9 \) в интервалах:
- \( (-\infty, \frac{3}{2}) \)
- \( ( \frac{3}{2}, +\infty) \)
Парабола открыта вверх (так как коэффициент при \( x^2 \) положителен), и она будет положительной вне корня.
Таким образом, неравенство \( 4x^2 - 12x + 9 > 0 \) будет выполняться в следующих интервалах:
\[ x < \frac{3}{2} \quad \text{или} \quad x > \frac{3}{2}. \]
Это можно записать в виде:
\[ x \in (-\infty, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, +\infty). \]
Таким образом, решение неравенства:
\[ 4x^2 - 12x + 9 > 0 \quad \text{при} \quad x \in (-\infty, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, +\infty). \]
