В треугольнике АВС известно, что AC = 5sqrt(2) см, angle B = 45 deg; angle C = 30 deg . Найдите сторону АВ треугольника

Чтобы найти сторону \( AB \) в треугольнике \( ABC \) с заданными параметрами, можем воспользоваться теоремой о синусах.

Сначала найдем угол \( A \). Поскольку сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \), мы можем вычислить угол \( A \):

\[ A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ \]

Теперь у нас есть все углы: \( A = 105^\circ \), \( B = 45^\circ \), \( C = 30^\circ \) и известная сторона \( AC = 5\sqrt{2} \) см.

По теореме синусов справедливо равенство:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

Где:

• \( a = BC \)
• \( b = AC = 5\sqrt{2} \) см
• \( c = AB \)

Таким образом, можем написать:

\[ \frac{AB}{\sin A} = \frac{AC}{\sin C} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{c}{\sin(105^\circ)} = \frac{5\sqrt{2}}{\sin(30^\circ)} \]

Зная, что \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \) и \( \sin(105^\circ) = \sin(180^\circ - 75^\circ) = \sin(75^\circ) \), при этом \( \sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) \):

\[ \sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]

Теперь можем подставить в наше уравнение:

\[ \frac{c}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{5\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} \]

Упрощая правую часть уравнения, получим:

\[ \frac{c}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = 10\sqrt{2} \]

Перемножим обе стороны на \( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \):

\[ c = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]

Теперь мы можем упростить это:

\[ c = \frac{10\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = \frac{10\sqrt{12} + 20}{4} = \frac{10\cdot 2\sqrt{3} + 20}{4} = \frac{20\sqrt{3} + 20}{4} = 5\sqrt{3} + 5 \]

Таким образом, сторона \( AB \) равна \( 5(\sqrt{3} + 1) \) см.