1На балу присутствует не более 50 человек. Они танцуют в парах (один мужчина и одна женщина). В настоящий момент танцуют 3/5 всех мужчин и 4/7 всех женщин. Сколько людей присутствуют на балу?
Для решения данной задачи начнем с обозначения количества мужчин и женщин на балу.
Обозначим:
- \( m \) - общее количество мужчин,
- \( w \) - общее количество женщин.
Из условия задачи мы знаем, что:
- На данный момент танцуют \( \frac{3}{5} \) всех мужчин, то есть \( \frac{3}{5}m \),
- Танцуют \( \frac{4}{7} \) всех женщин, то есть \( \frac{4}{7}w \).
Поскольку на балу танцуют пары (один мужчина и одна женщина), мы можем записать уравнение:
\[ \frac{3}{5}m = \frac{4}{7}w \]
Теперь выразим \( w \) через \( m \):
\[ w = \frac{7}{4} \cdot \frac{3}{5}m = \frac{21}{20}m \]
Теперь найдем общее количество людей на балу:
\[ m + w = m + \frac{21}{20}m = \frac{20}{20}m + \frac{21}{20}m = \frac{41}{20}m \]
Согласно условию, на балу присутствует не более 50 человек:
\[ \frac{41}{20}m \leq 50 \]
Умножим обе стороны на 20:
\[ 41m \leq 1000 \]
Теперь разделим обе стороны на 41:
\[ m \leq \frac{1000}{41} \approx 24.39 \]
Так как \( m \) - это целое число, его максимальное возможное значение равно 24.
Теперь найдем \( w \):
\[ w = \frac{21}{20} \cdot 24 = 25.2 \]
Поскольку \( w \) также должно быть целым числом, то выбираем максимально подходящее целое число. Для нахождения подходящих значений \( m \) и \( w \) нужно также учитывать числители изначальных дробей.
Поскольку \( m \) = 20 дает \( w \) = 21, входящие в количество присутствующих людей.
Теперь проверим:
Если \( m = 20 \), то \( w = 21 \):
Проверяем общее количество:
\[ m + w = 20 + 21 = 41 \]
Теперь проверьте количество танцующих:
- Танцуют \( \frac{3}{5} \cdot 20 = 12 \) мужчин,
- Танцуют \( \frac{4}{7} \cdot 21 = 12 \) женщин.
Все условия выполнены.
Таким образом, на балу присутствуют 41 человек.
