Решите неравенство х+4/1-х≤3

Чтобы решить неравенство \(\frac{x + 4}{1 - x} \leq 3\), следуем следующим шагам:

1. Переносим все части неравенства в одну сторону: \[ \frac{x + 4}{1 - x} - 3 \leq 0 \]

2. Приводим к общему знаменателю: \[ \frac{x + 4 - 3(1 - x)}{1 - x} \leq 0 \] Упрощаем числитель: \[ x + 4 - 3 + 3x = 4x + 1 \] Таким образом, неравенство становится: \[ \frac{4x + 1}{1 - x} \leq 0 \]

3. Определяем нули числителя и знаки: Нули выражения \(4x + 1 = 0\) при \(x = -\frac{1}{4}\). Знаменатель \(1 - x = 0\) при \(x = 1\). Здесь важный момент: при \(x = 1\) дробь не определена.

4. Создаем интервал для анализа знаков: Рассмотрим интервалы: \((-∞, -\frac{1}{4})\), \((- \frac{1}{4}, 1)\) и \((1, +∞)\).

5. Проверяем знаки на каждом интервале:

   • Для \(x < -\frac{1}{4}\) (например, \(x = -1\)): \[ \frac{4(-1) + 1}{1 - (-1)} = \frac{-4 + 1}{1 + 1} = \frac{-3}{2} < 0 \quad (\text{отрицательное}) \]
   • Для \(-\frac{1}{4} < x < 1\) (например, \(x = 0\)): \[ \frac{4(0) + 1}{1 - 0} = \frac{1}{1} > 0 \quad (\text{положительное}) \]
   • Для \(x > 1\) (например, \(x = 2\)): \[ \frac{4(2) + 1}{1 - 2} = \frac{8 + 1}{-1} = -9 < 0 \quad (\text{отрицательное}) \]

6. Составляем итоговое решение: Мы искали, когда дробь меньше или равна нулю. Таким образом, решением неравенства будут интервалы:

   • \((-∞, -\frac{1}{4}]\)
   • \((1, +∞)\)

7. Записываем окончательный ответ: \[ x \in (-∞, -\frac{1}{4}] \cup (1, +∞) \]

Теперь вы знаете, как решить это неравенство! Если у вас есть другие вопросы или требуется дополнительная помощь, не стесняйтесь спрашивать.